Post on 13-Mar-2016
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ETUDE TECHNIQUE
COMPORTEMENT THERMONUCLEAIRE
DU BANIA 2.0
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1. Contexte
Le Bania 2.0 est la nouvelle version d’un habitacle de petite taille d’inspiration russe, destiné à chauffer ses occupants jusqu’à ce que mort s’ensuive.
2. Objectif
L’objectif de cette étude technique est de déterminer le comportement thermique instationnaire du Bania 2.0.
3. Modélisation : géométrie et matériaux
Le Bania est assimilé à un parallélépipède de volume v = L*l*h avec :
L = 2.2 m L = 1.8 m H = 1.8 m
Les différentes cloisons du mur composite sont ramenées à une paroi équivalente dont la surface est égale à la surface totale des cloisons du Bania.
La paroi équivalente est constituée de 3 couches :
Une couche de bois d’épaisseur 6 mm Une couche de laine de verre d’épaisseur 70 mm Une couche de bois d’épaisseur 6 mm
Les caractéristiques physiques des matériaux sont supposées être les suivantes :
Bois :
Conductivité thermique : 0,15 W/M/°K
Chaleur massique : 1760 J/kg/°K
Masse volumique : 740 kg/m3
Laine de verre :
Conductivité thermique : 0,04 W/M/°K
Chaleur massique : 840 J/kg/°K
Masse volumique : 20 kg/m3
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Air :
Chaleur massique : 1007 J/kg/°K
Masse volumique : 1,1774*300/(273+T°C) kg/m3
4. Flux thermiques
L’enceinte du Bania est modélisée par une masse thermique ponctuelle échangeant par convection avec un mur composite.
Le mur est modélisé par éléments finis, au sein desquels a lieu une triple conduction en série.
L’air extérieur est maintenu à température constante et échange par convection avec la paroi extérieure du mur composite.
Le calcul des coefficients de convection naturelle se fait à l’aide de la corrélation expérimentale suivante :
ℎ = 1,42 ∗ ∆𝑇
𝐿 0.25
Cette approche permet de s’affranchir de la résolution des équations de la mécanique des fluides couplées à l’équation de l’énergie, tout en conservant un degré correct de précision.
Le système { Bania + Paroi + Extérieur } est modélisé comme suit :
Le problème se ramène donc à une étude conducto-convective de l’équation de la chaleur en monodimensionnel instationnaire.
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5. Résolution
L’air du Bania est modélisé par une simple masse d’air ponctuelle.
Pour le mur composite, l’équation de la chaleur est discrétisée spatialement par la méthode des éléments finis (éléments linéaires à deux nœuds).
La température de l’air du Bania est régie par l’équation différentielle suivante :
𝜌𝑐𝑣𝜕𝑇
𝜕𝑡= 𝑄𝑖𝑛 − 𝑄𝑜𝑢𝑡
𝜌𝑐𝑣𝜕𝑇
𝜕𝑡= 𝑃𝑢𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑐𝑒 −
𝑇 − 𝑇𝑒𝑥𝑡𝑅
Avec :
𝑅 =1
ℎ𝑆
Cette équation différentielle est résolue à chaque pas de temps par la méthode d’Euler :
𝑇 𝑡 + ∆𝑡 ≈ 𝑇 𝑡 +𝜕𝑇(𝑡)
𝜕𝑡∗ ∆𝑡
La valeur de la température d’air du Bania ainsi obtenue est ensuite injectée dans le modèle éléments finis régissant la température du mur composite.
Le maillage éléments finis du mur composite se compose de 3 éléments et 4 nœuds :
La matrice de conduction globale 𝐾 se fait à partir de l’assemblage des matrices de conduction élémentaires obtenues par intégration sur l’élément :
𝑘 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒 =𝑆𝑘
𝑒 1 −1−1 1
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La matrice de capacité globale 𝐶 se fait à partir de l’assemblage des matrices de capacité élémentaires obtenues par intégration sur l’élément :
𝑐 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑖𝑟𝑒 = 𝜌𝑐𝑣 1/3 1/61/6 1/3
Les termes de convection, ajouté au premier et au dernier termes de la matrice de conduction globale et du vecteur de chargement thermique, sont de la forme hST.
L’intégration en temps du système matriciel se fait à l’aide du schéma inconditionnellement stable de Crank-Nicholson :
𝑇𝑛+1 = 𝐾𝑛 −1𝑄𝑛
Avec :
𝐾𝑛 =
1
2𝐾𝑛 +
1
∆𝑡𝐶𝑛
Et :
𝑄𝑛 = −
1
2𝐾𝑛 +
1
∆𝑡𝐶𝑛 𝑇𝑛 + 𝑄𝑛
6. Résultats
Le graphique ci-dessous présente le profil de température en régime stationnaire, depuis l’intérieur du Bania jusqu’à l’air extérieur :
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Le graphique ci-dessous présente les courbes de température en fonction du temps aux différents points du modèle :
7. Annexe
Le programme de simulation est programmé en langage Matlab. Le code est donné ci-dessous :
% PROGRAMME BANIA
% Simulation du comportement thermique du Bania 2.0
% Calcul instationnaire
% Mur composite éléments finis couplé à une masse d'air intérieur ponctuelle
clc; % nettoyage écran
clear; % reset variables
L=2.2; % longueur
l=1.8; % largeur
H=1.8; % hauteur
V=L*l*H; % volume du Bania 2.0
S=2.2*1.8*2+1.8*1.8*2+1.8*2.2; % surface extérieure totale du Bania 2.0
P=2000; % puissance du réacteur nucléaire
Text=5; % température extérieure (constante)
rho_bois=740; % masse volumique du bois
rho_laine=20; % masse volumique de la laine de verre
cp_air=1007; % capacité thermique de l'air
cp_bois=1760; % capacité thermique du bois
cp_laine=840; % capacité thermique de la laine de verre
kond_bois=0.15; % conductivité thermique du bois
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kond_laine=0.04; % conductivité thermique de la laine de verre
e_bois=6e-3; % épaisseur du bois
e_laine=7e-2; % épaisseur de la laine de verre
itermax=1500; % nombre de pas de temps de la simulation
dt=10; % pas de temps
k_bois=S*kond_bois/e_bois*[1 -1;
-1 1]; % matrice de conductivité élémentaire du bois
k_laine=S*kond_laine/e_laine*[1 -1;
-1 1]; % matrice de conductivité élémentaire de la laine de verre
c_bois=rho_bois*S*e_bois*cp_bois*[1/3 1/6;
1/6 1/3]; % matrice de capacité élémentaire du bois
c_laine=rho_laine*S*e_laine*cp_laine*[1/3 1/6;
1/6 1/3]; % matrice de capacité élémentaire de la laine de
verre
K=[0 k_bois(1,2) 0 0
k_bois(2,1) k_bois(2,2)+k_laine(1,1) k_laine(1,2) 0
0 k_laine(2,1) k_laine(2,2)+k_bois(1,1) k_bois(1,2)
0 0 k_bois(2,1) 0 ];
% matrice de conductivité globale, sans les termes de bords, variables dans le temps
C=[c_bois(1,1) c_bois(1,2) 0 0
c_bois(2,1) c_bois(2,2)+k_laine(1,1) c_laine(1,2) 0
0 c_laine(2,1) c_laine(2,2)+c_bois(1,1) c_bois(1,2)
0 0 c_bois(2,1) c_bois(2,2)];
% matrice de capacité globale
Tn=zeros(4,1); % vecteur solution mur composite
Q=zeros(4,1); % vecteur de chargement thermique mur composite
Tn(:,1)=Text; % condition initiale pour le mur composite
Tb=Text; % condition initiale pour l'air intérieur
time=0; % initialisation du temps
results=zeros(6,itermax+1); % tableau de résultats
results(1:6,1)=Text; % initialisation
for t=1:itermax % boucle temporelle
time=time+dt; % mise à jour du temps
rho_air=1.1774*300/(273+Tb); % évaluation de la masse volumique de l'air, fonction de la
température et donc du temps
c_air=rho_air*cp_air*V; % évaluation de la masse thermique de l'air, fonction de la
température et donc du temps
h_int=1.42*((abs(Tb-Tn(1,1)))/l+1e-6)^0.25; % coefficient de convection entre l'air intérieur
et la paroi
h_ext=1.42*((abs(Text-Tn(4,1))+1e-6)/l)^0.25; % coefficient de convection entre la paroi et
l'air extérieur
R=1/(h_int*S); % résistance de convection entre l'air intérieur et la paroi
dT=(P-(Tb-Text)/R)/c_air; % dérivée de la température intérieure
Tb=Tb+dT*dt; % intégration temporelle de la température intérieure par la méthode d'Euler
K(1,1)=h_int*S+k_bois(1,1); % calcul du terme de conducto-convection à l'interface air
intérieur/paroi
K(4,4)=h_ext*S+k_bois(2,2); % calcul du terme de conducto-convection à l'interface paroi/air
extérieur
Q(1,1)=h_int*S*Tb; % calcul du flux convectif intérieur, fonction de la température d'air
intérieur
Q(4,1)=h_ext*S*Text; % calcul du flux convectif extérieur
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newK=0.5*K+1/dt*C; % matrice d'intégration temporelle pour le mur composite, schéma de Crank-
Nicholson
newQ=(-0.5*K+1/dt*C)*Tn+Q; % vecteur d'intégration temporelle pour le mur composite, schéma
de Crank-Nicholson
Tn=newK\newQ; % résolution du système matriciel linéaire
results(1,t+1)=Tb; % écriture des résultats
results(2:5,t+1)=Tn; % écriture des résultats
results(6,t+1)=Text; % écriture des résultats
plot(results(:,t),'linewidth',2); % affichage du profil de température Bania -> Extérieur
axis([1,6,Text,70]) % cadrage du graphique
xlabel('Bania => ... => Extérieur') % noms des axes
ylabel('TEMPERATURE (°C)')
grauh=gcf; % animation du profil spatial en fonction du temps
moovie=getframe(grauh);
clf;
end
plot(results(1,:),'linewidth',2); % affichage des résultats nodaux
xlabel('Temps (n*dt)')
ylabel('TEMPERATURE (°C)')
hold all
plot(results(2,:),'linewidth',2);
plot(results(3,:),'linewidth',2);
plot(results(4,:),'linewidth',2);
plot(results(5,:),'linewidth',2);
plot(results(6,:),'linewidth',2);