Post on 04-Apr-2015
Apprendre les mathématiquespour apprendre à raisonner ?
APMEP. Journée de la Régionale Ile de FranceSamedi 27 Mai 2006
« Comment se fait-il qu’il y a tant d’esprits qui se refusent à comprendre les mathématiques ? N’y a-t-il pas là quelque chosede paradoxal ? Comment, voilà une science qui ne fait appel qu’aux principes fondamentaux de la logique, au principe de contradiction, par exemple, à ce qui fait pour ainsi dire le squelettede notre entendement, à ce qu’on ne saurait dépouiller sans cesserde penser, et il y a des gens qui la trouvent obscure !et même ils sont en majorité ! »
Henri POINCARE
… / …
Hypothèses
Conclusion
Propriété B
Propriété C
Propriété E
Propriété A
Propriété D
Hypothèses
Conclusion
Propriété B
Propriété C
Propriété E
Propriété A
Propriété D
Th. 1
Th. 2
Th. 3
A
B
C
D
K
L
I
J
A
B C
P
QR
Problème : 12 roses coûtent 28 euros, combiencoûteront 49 roses ?
Problème : une tirelire contient des billets de 5et de 10 euros, elle contient 37 billets en tout pour une somme 305 euros. Combien contient-elle de billets de chaque sorte ?
Problème : 70 vaches tondent un pré en 24 jours,30 vaches le tondent en 60 jours, combien faut-ilde vaches pour le tondre en 96 jours ?
Problème : Y désigne une variable aléatoire réellesur l’espace de probabilité (, F , P). On suppose que, pour tout t > 0 , on a :
E(etY) ≤ C e ,
avec C et > 0 .
Démontrer que, pour tout > 0 , on a :
P(Y ≥ ) ≤ C e .
t22/2
– 2/22
… / …
Hypothèses
Conclusion
Propriété B
Propriété C
Propriété E
Propriété A
Propriété D
Th. 1
Th. 2
Th. 3
A
B
C
D
K
L
I
J
Propriété des médianes
A
B C
P
QR
A
B C
A
B C
Problème : 12 roses coûtent 28 euros, combiencoûteront 49 roses ?
Problème : une tirelire contient des billets de 5et de 10 euros, elle contient 37 billets en tout pour une somme 305 euros. Combien contient-elle de billets de chaque sorte ?
Problème : 70 vaches tondent un pré en 24 jours,30 vaches le tondent en 60 jours, combien faut-ilde vaches pour le tondre en 96 jours ?
Règle de trois…
Tableau de
proportionnalité !
Fausses
suppositions…
Système à deux
inconnues !
Proportionnalité ?
Inverse
proportionnalité ?
Fausse positi
on ?…
Problème : Y désigne une variable aléatoire réellesur l’espace de probabilité (, F , P). On suppose que, pour tout t > 0 , on a :
E(etY) ≤ C e ,
avec C et > 0 .
Démontrer que, pour tout > 0 , on a :
P(Y ≥ ) ≤ C e .
t22/2
– 2/22
Bienaymé-
Tchebychev
Problème : Un fermier possède un petit troupeau de 19 vaches, elles meurent toutes sauf 7, combien lui reste-t-il de vaches ?
Problème : me rendant à la plage, j'ai croisé 6 hommes qui avaient chacun 6 femmes, chaque femme avait 6 enfants et chaque enfant avait 6 chats. Combien de personnes et d'animaux vont à la plage ?
Problème : un navire de 500 tonneaux, avec trois mâts, 30 hommes d'équipage, 200 balles de coton, 1500 litres de vin, 1 tonne de café, 3 tonnes de bananes... arrive à Marseille en 1885. Quel est l'âge du capitaine ?
Soustraction !
Multiplication
Addition
Age du capitaine !
Problème : Un fermier possède un petit troupeau de 19 vaches, elles meurent toutes sauf 7, combien lui reste-t-il de vaches ?
Problème : me rendant à la plage, j'ai croisé 6 hommes qui avaient chacun 6 femmes, chaque femme avait 6 enfants et chaque enfant avait 6 chats. Combien de personnes et d'animaux vont à la plage ?
Problème : un navire de 500 tonneaux, avec trois mâts, 30 hommes d'équipage, 200 balles de coton, 1500 litres de vin, 1 tonne de café, 3 tonnes de bananes... arrive à Marseille en 1885. Quel est l'âge du capitaine ?
… / …
1.— Julie Lamalchance2.— L’exemple du sudoku
3.— La laitière et les haricots de Singapour…
A
S
R T
ARST est un losange.
H
Le cercle de diamètre [TR] coupe [AR] en H.
I
Les droites (TH) et (AS) se coupent en I.
1. Démontrer que (TH) est une hauteur du triangle ATR.
2. Démontrer que (RI) est perpendiculaire à (AT).
K
La droite (RI) coupe (AT) en K.
3. Démontrer que les points T, K, H et R sont sur un même cercle.
A
S
R T
ARST est un losange.
H
Le cercle de diamètre [TR] coupe [AR] en H.
I
Les droites (TH) et (AS) se coupent en I.
1. Démontrer que (TH) est une hauteur du triangle ATR.
2. Démontrer que (RI) est perpendiculaire à (AT).
K
La droite (RI) coupe (AT) en K.
3. Démontrer que les points T, K, H et R sont sur un même cercle.
Angle droit inscrit…
Hauteurs concourantes
Julie, (quatrième, décembre 97)
Je commence par tracer le losange ARST puis le cercle, le point H.
A
H
S
R T
I
Je relie (TH) et (AS) ; ces droites se coupent en I.
A
H
S
R T
IK
1. Pour prouver que (TH) est une hauteur du triangle ATR je relie (TR) et je trace ensuite les 3 hauteurs (dont celle que je pense en être une (TH))
Y
et après avoir fait ceci, je constate que (TH) est l'une des trois hauteurs du triangle ATR. L'énoncé est donc exact. (*)
(*) Je constate également que dans ATR, sur (TH), (KR) et (AY) le centre de gravité se trouve aux 2/3 en partant du sommet. Je pense donc que mon raisonnement est exact, et surtout que je comprenne bien ce qui est faux.
A
H
S
R T
IK
2. Pour prouver que (RI) est perpendiculaire à (AT) je relie (RI) et je constate ensuite que cette dernière est une des 3 hauteurs du triangle ATR.Je recherche parmi mes théorèmes et stupeur, je ne trouve pas la bonne fiche et après ce petit incident, je me dis que si (RI) est une des 3 hauteurs du triangle ATR, elle coupe AT perpendiculairement. Donc (RI) est perpendiculaire à (AT).
A
H
S
R T
IK
Pour montrer que T, K, H et R sont sur un même cercle, il me suffit de construire ce cercle…
Après tout ceci je constate avec émerveillement que le 1), le 2) et le 3) sont des démonstrations exactes plutôt que des énoncés.
Y
coup de chance, ce cercle ayant pour centre Y, est déjà construit. Il ne me reste plus qu'à constater que T, K, H et R sont sur un même cercle que je vais
appeler C.
… / …
A
H
S
R T
IK
ARST est un losange. Le cercle de diamètre [TR] coupe [AR] en H. Les droites (TH) et (AS) se coupent en I.
1. démontrer que (TH) est une hauteur du triangle ATR.
2. Démontrer que (RI) est perpendiculaire à (AT).La droite (RI) coupe (AT) en K.
3. Démontrer que les points T, K, H et R sont sur un même cercle.
… / …
A
C1
C1 et C2 sont deux cercles de centres respectifs O1 et O2
sécants en A et B. La droite (AO1) coupe le cercle C1 en A1.
La droite (AO2) coupe C2 en A2.1. Compléter le figure :
Julie, (mars 98)
B
O1
O2
C2
A1
A2
A
C1
Pour commencer, je trace tout ce que me demande de tracer l'énoncé. Je m'aperçois que AA1A2 est un triangle.
2. Prouver que les droites (A1A2) et (O1O2) sont parallèles.
B
O1
O2
C2
Ensuite je fouille dans mon mémento à la recherche de la leçon sur les théorèmes des milieux…
A1
A2
A
C1
C'est bien ce que je pensais, le théorème n°1 : Si dans un triangle, une droite passe par les milieux des deux côtés, elle est alors parallèle au 3ème côté.
B
O1
O2
C2
Donc je mesure AA1 : 4,8 cm et O est à 2,4 cm donc au milieu. Je mesure AA2 : 7,4 et O est à 3,7 .Je peux donc en conclure que O1O2 // A1A2.
Je code désormais ce que je sais.
BA1
A2
Cela me rappelle un théorème dans la boîte à outil parlant d'une droite perpendiculaire à deux droites parallèles.Je cherche,…
3. Quelle est la nature du triangle ABA1 ? Pourquoi ?
A
C1
B
O1
O2
C2
BA1
A2
…J'ai trouvé, le voici : Si deux droites sont parallèles toute perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
A
C1
B
O1
O2
C2
BA1
A2
Donc c'est le cas donc B est un angle droit. Je le code. Et tout triangle ayant un angle droit est rectangle donc ABA1 est rectangle en B.
A
C1
B
O1
O2
C2
BA1
A2
Cette question est difficile, je ne la comprends pas.
4. Après avoir fait un raisonnement analogue pour un autre triangle de la figure, prouver que l’angle A2BA1 est plat. Qu’en déduit-on sur la position des points A1, B et A2 ?
… / …
1.— Julie Lamalchance2.— L’exemple du sudoku
3.— La laitière et les haricots de Singapour…
5 8 43 4
2 7 5 84 9 7
5 63 6 4
7 2 3 94 7
8 1 6
5 8 43 4
2 7 5 84 9 7
5 63 6 4
7 2 3 94 7
8 1 6
7692 1 3
5 8 43 4
2 7 5 84 9 7
5 63 6 4
7 2 3 94 7
8 1 6
31
6
2
5
5 8 43 4
2 7 5 84 9 7
5 63 6 4
7 2 3 94 7
8 1 6
3
51 8
2
5 8 43 4
2 7 5 84 9 7
5 63 6 4
7 2 3 94 7
8 1 6
4
5 8 43 4
2 7 5 84 9 7
5 63 6 4
7 2 3 94 7
8 1 6
4
4
5 8 43 4
2 7 5 84 9 7
5 63 6 4
7 2 3 94 7
8 1 6
4
4
4
5 8 43 4
2 7 5 84 9 7
5 63 6 4
7 2 3 94 7
8 1 6
4
4
4
4
5 8 43 4
2 7 5 84 9 7
5 63 6 4
7 2 3 94 7
8 1 6
4
4
4
4
5 8 43 4
2 7 5 84 9 7
5 63 6 4
7 2 3 94 7
8 1 6
4
4
4
4
5 8 43 4
2 7 5 84 9 7
5 63 6 4
7 2 3 94 7
8 1 6
4
4
4
4
5
5 8 43 4
2 7 5 84 9 7
5 63 6 4
7 2 3 94 7
8 1 6
4
4
4
4
5
5 8 43 4
2 7 5 84 9 7
5 63 6 4
7 2 3 94 7
8 1 6
4
4
4
4
5
7
5 8 43 4
2 7 5 84 9 7
5 63 6 4
7 2 3 94 7
8 1 6
4
4
4
4
5
7
5 8 43 4
2 7 5 84 9 7
5 63 6 4
7 2 3 94 7
8 1 6
4
4
4
4
5
7
5 8 43 4
2 7 5 84 9 7
5 63 6 4
7 2 3 94 7
8 1 6
4
4
4
4
5
7
Première procédure :
5 8 43 4
2 7 5 84 9 7
5 63 6 4
7 2 3 94 7
8 1 6
4
4
4
4
5
7
Première procédure : l’exemple du 8
5 8 43 4
2 7 5 84 9 7
5 63 6 4
7 2 3 94 7
8 1 6
4
4
4
4
5
7
Première procédure :
5 8 43 4
2 7 5 84 9 7
5 63 6 4
7 2 3 94 7
8 1 6
4
4
4
4
5
7
Première procédure :
5 8 43 4
2 7 5 84 9 7
5 63 6 4
7 2 3 94 7
8 1 6
4
4
4
4
5
7
Première procédure :
5 8 43 4
2 7 5 84 9 7
5 63 6 4
7 2 3 94 7
8 1 6
4
4
4
4
5
7
Première procédure :
5 8 43 4
2 7 5 84 9 7
5 63 6 4
7 2 3 94 7
8 1 6
4
4
4
4
5
7
Première procédure :
5 8 43 4
2 7 5 84 9 7
5 63 6 4
7 2 3 94 7
8 1 6
4
4
4
4
5
7
Variante indirecte :
3 ou 5
9
5 8 43 4
2 7 5 84 9 7
5 63 6 4
7 2 3 94 7
8 1 6
4
4
4
4
5
7
Variante indirecte :
3 ou 5
9
5 8 43 4
2 7 5 84 9 7
5 63 6 4
7 2 3 94 7
8 1 6
4
4
4
4
5
7
Variante indirecte :
9
5 8 43 4
2 7 5 84 9 7
5 63 6 4
7 2 3 94 7
8 1 6
4
4
4
4
5
7
Variante indirecte :
9
3
5 8 43 4
2 7 5 84 9 7
5 63 6 4
7 2 3 94 7
8 1 6
4
4
4
4
5
7
Première procédure :
9
3
5 8 43 4
2 7 5 84 9 7
5 63 6 4
7 2 3 94 7
8 1 6
4
4
4
4
5
7
Première procédure :
9
3
3
5 8 43 4
2 7 5 84 9 7
5 63 6 4
7 2 3 94 7
8 1 6
4
4
4
4
5
7
Procédure “duale” :
9
3
3
5 8 43 4
2 7 5 84 9 7
5 63 6 4
7 2 3 94 7
8 1 6
4
4
4
4
5
7
Procédure “duale” :
9
31
3
5 8 43 4
2 7 5 84 9 7
5 63 6 4
7 2 3 94 7
8 1 6
4
4
4
4
5
7 9
31
3
5 8 43 4
2 7 5 84 9 7
5 63 6 4
7 2 3 94 7
8 1 6
4
4
4
4
5
7
Procédure “essai” :
9
31
6&7
3&5
67
3
5 8 43 4
2 7 5 84 9 7
5 63 6 4
7 2 3 94 7
8 1 6
4
4
4
4
5
7
Procédure “essai” :
9
31
6&7
3&5
67
7
77
66
6
6
9
99
5 & 8
3
5 8 43 4
2 7 5 84 9 7
5 63 6 4
7 2 3 94 7
8 1 6
4
4
4
4
5
7
Conséquence :
9
31
3&5
76
Et cætera
3
5 8 43 4
2 7 5 84 9 7
5 63 6 4
7 2 3 94 7
8 1 6
4
4
4
4
5
7 9
31
1 82
18 5
1
1 6
6
69
1
8
8 67
76
77
6
9
223
35
22
99
5
8
8 5
5
3
5 8 43 4
2 7 5 84 9 7
5 63 6 4
7 2 3 94 7
8 1 6
4
4
4
4
5
7 9
31
1 82
18 5
1
1 6
6
69
1
8
8 67
76
77
6
9
223
35
22
99
5
8
8 5
5 292
1
1
3
3
9
Hypothèses
Conclusion
Propriété B
Propriété C
Propriété A
Propriété D
Propriété E
… / …
Algorithmes …
5 8 43 4
2 7 5 84 9 7
5 63 6 4
7 2 3 94 7
8 1 6
1 2 3
6
9
5
8
4
7
5 8 43 4
2 7 5 84 9 7
5 63 6 4
7 2 3 94 7
8 1 6
5 8 43 4
2 7 5 84 9 7
5 63 6 4
7 2 3 94 7
8 1 6
5 8 43 4
2 7 5 84 9 7
5 63 6 4
7 2 3 94 7
8 1 6
5 8 43 4
2 7 5 84 9 7
5 63 6 4
7 2 3 94 7
8 1 6
5 8 43 4
2 7 5 84 9 7
5 63 6 4
7 2 3 94 7
8 1 6
5 8 43 4
2 7 5 84 9 7
5 63 6 4
7 2 3 94 7
8 1 6
5 8 43 4
2 7 5 84 9 7
5 63 6 4
7 2 3 94 7
8 1 6
1
5 8 43 4
2 7 5 84 9 7
5 63 6 4
7 2 3 94 7
8 1 6
1
5 8 43 4
2 7 5 84 9 7
5 63 6 4
7 2 3 94 7
8 1 6
1
… / …
Problèmes …
Décompte ?…
3
5 8 43 4
2 7 5 84 9 7
5 63 6 4
7 2 3 94 7
8 1 6
4
4
4
4
5
7 9
31
1 82
18 5
1
1 6
6
69
1
8
8 67
76
77
6
9
223
35
22
99
5
8
8 5
5 292
1
1
3
3
9
Décompte ?…
3
5 8 43 4
2 7 5 84 9 7
5 63 6 4
7 2 3 94 7
8 1 6
4
4
4
4
5
7 9
31
1 82
18 5
1
1 6
6
69
1
8
8 67
76
77
6
9
223
35
22
99
5
8
8 5
5 292
1
1
3
3
9
Décompte ?…
1
9 7 25 2
4 5 9 35 9 8
6 31 9 4
6 9 1 42 5
1 5 3
4
7
8
2
2
7 4
14
7 56
98 2
7
5 3
7
34
8
3
4 85
66
79
6
8
916
72
22
83
7
5
8 6
3 193
1
1
8
4
6
Décompte ?…
1
9 7 25 2
4 5 9 35 9 8
6 31 9 4
6 9 1 42 5
1 5 3
4
7
8
2
2
7 4
14
7 56
98 2
7
5 3
7
34
8
3
4 85
66
79
6
8
916
72
22
83
7
5
8 6
3 193
1
1
8
4
6
6 670 903 752 021 072 936 960 = 9 ! x 722 x 27 x 27 704 267 971
63
44
1
9
168
2
83
27
6
1
2
17 cases
Record ?…
63
44
1
9
168
2
83
27
6
1
2
11
12
13
24
35
46
57
68
69
610
311
312
213
614
815
816
617
718
819
420
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… / …
1.— Julie Lamalchance2.— L’exemple du sudoku
3.— La laitière et les haricots de Singapour…
Problème : (Manuel de Châtelet (1934) destinéau niveau « Cours Moyen et Fin d’études » :
« Une laitière a fourni à une crémière 20 litres de lait. En pesant ce lait, la crémière a trouvé un poids de 20,555 kg.
Ce lait a-t-il été mélangé d'eau ? Qu'est-ce qui le prouve ?Quelle quantité d'eau contient-il ?
(On rappelle que la densité du lait est 1,03) ».
Première méthode : la croix des mélanges
1) Calcul de la densité :
20 l pèsent 20,555 kg
1 l pèse 20,555 : 20 = 1,02775 kg
2) Calcul de la proportion d’eau :
1
1,02775
1,03
0,00225
0,02775
225
2775
pour
37
3
pour
3) Conclusion : 3 parts pour 40 de mélange… : 1,5 l d’eau
Deuxième méthode : les fausses positions
1) S’il y a bien 20 litres de lait, la densité est : 1,03
2) S’il y a 19 litres de lait et 1 litre d’eau, la densité est : (19 x 1,03 + 1) / 20 = 20,57 / 20 = 1,0285
3) Comme la densité observée est de 1,02775, il faut donc :
1,03 – 1,02775
1,03 – 1,0285= 1,5 … litres d’eau
Troisième méthode : les fausses suppositions
Problème : une tirelire contient des billets de 5 et de 10 euros,elle contient 37 billets en tout pour une somme 305 euros.
Combien contient-elle de billets de chaque sorte ?
Supposons qu’il n’y ait que des billets de 5 …
La somme serait de 5 x 37 = 185 euros
Or il y a 305 euros, soit 120 euros de plus …
Il faut donc changer 120 / 5 = 24 billets de 5 en billets de 10 …
Troisième méthode : les fausses suppositions
Problème : une laitière vend un mélange de liquides de densités 1 et 1,03 . Il y a 20 litres et le tout pèse 20,555 kg.
Combien le mélange contient-il de litres de chaque sorte ?
Supposons qu’il n’y ait que des litres de lait (de densité 1,03) …
Le poids total serait de 20 x 1,03 = 20,6 kg
Or il n’y a que 20,555 kg, soit 0,045 kg de moins …
Il faut donc changer 0,045 / 0,03 = 1,5 litres de 1,03 en litres de 1 …
C’est-à-dire qu’il faut 1,5 litres d’eau dans le mélange.
Quatrième méthode : la mise en équation(s)
Problème à une inconnue :
Désignons par x le nombre de litres de lait dans le mélange,
Il y a donc (20 – x) litres d’eau et le poids du mélange est :
(20 – x) + 1,03 x
On a donc : (20 – x) + 1,03 x = 20,555
Soit : 20 + 0,03 x = 20,555 , etc.
Problème à deux inconnues :
Désignons par x le nombre de litres de laitet par y le nombre de litres d’eau… etc.
Cinquième méthode : l’algébrisation
« Une laitière a fourni à une crémière V litres de mélange d’un liquide de densité d et d’un liquide de densité d’. En pesant ce mélange, la crémière a trouvé un poids de P kg. Quelle quantité de chaque liquide ce mélange contient-il ? ».
Soit x le volume du premier liquide, le poids total P du mélange est donné par la relation : P = d x + d’ (V – x) .
D’où l’on tire x = (P – d’V)/(d – d’)…
Quelle est ici la valeur de x , sachant que P = …
Sixième méthode : l’étude fonctionnelle
Soit x le volume [variable] d’eau dans le mélange de la crémière.
On peut calculer le poids P du mélange final en fonction de x :
P = x + 1,03 (20 – x) = 20,6 – 0,03 x
Etant donné cette fonction y = 20,6 – 0,03 x , le problème revient à trouver pour quelle valeur de x la valeur de y est égale à 20,555 …
… / …
Problème : (Singapour)
« Un homme a deux terrains, le premier deux fois plus grand que l'autre, sur lesquels il cultive des haricots verts. Venu le temps de la récolte, il engage une équipe de paysans pour la faire.
Toute l'équipe travaille d'abord au grand terrain pendant cinq heures d'une matinée, et après leur pause de midi, une moitié d'entre eux va s'occuper du petit terrain, tandis que les autres retournent au grand. Après cinq heures de travail, ils rentrent chez eux. Un des terrains est achevé, mais pas l'autre. Un des paysans se porte volontaire pour le finir le lendemain. Il y arrive juste en travaillant toutes les dix heures du jour de travail.
Question : Combien y avait-il de paysans ? »
Traduisons :
« Un homme a deux terrains A et B. Le premier nécessite deux foisplus de temps de travail que le deuxième. Pour la récolte, une équipe de 2N paysans travaille une demi-journée sur A, puis une équipe de N paysans travaille une demi-journée sur A et une équipe de N paysans travaille une demi-journée sur B. Il reste alors à travailler 2 demi-journées pour terminer le champ qui n’a pas été achevé »
Question : Combien y avait-il de paysans ? »
Méthode algébrique
Supposons que le champ A est terminé en premier.
Pour le champ A, il faut 2N + N = 3N demi-journées de travail
Pour le champ B, il faut N + 2 demi-journées de travail
Donc, puisque nous savons que le champ Anécessite deux fois le travail du champ B,
nous avons l’équation qui va gouverner le problème :
3N = 2 (N + 2)
Méthode arithmétique
Reprenons l’équation sous sa forme originelle :
2N + N = 2 ( N + 2 )
Elle se résout évidemment sous la forme immédiate :
2N + N = 2N + 2 x 2
N = 2 x 2
Mais on peut de plus “lire” la résolution en traduisant :
N est donc le double de 2.
Champ A
Champ B
Donc, comme le champ A est le double du champ B, la portion A’’ restante du champ A est encore le double de la portion restante B’’ du champ B.
Portion A”
Portion B”
Après la première demi-journée,une portion A’ du champ A [dont la surface correspond à 2N demi-journées de travail] a été récoltée.
Portion A’
2N demi-journées
Elle est naturellement le double de la portion B’ du champ B qui a été récoltée l’après-midi [qui correspond à N demi-journées].
Portion B’
N demi-journéesMais A’’ nécessite N demi-journées[effectuées le premier après-midi] et B’’ nécessite seulement les 2 demi-journées effectuées le lendemain…
N demi-jour
2 demi-jour
… / …
Conclusion ?…