Post on 16-Feb-2019
R. R. R. R. R. R. R. R. FossionFossionFossionFossionFossionFossionFossionFossionINFN-Padova
Applicazioni di Modelli Algebrici ai Applicazioni di Modelli Algebrici ai Applicazioni di Modelli Algebrici ai Applicazioni di Modelli Algebrici ai Nuclei AtomiciNuclei AtomiciNuclei AtomiciNuclei Atomici
oggi
• Modello Collettivo
• Stati Coerenti (“il campo medio dell’ IBM”)
mercoledì
• Coesistenza di fase di forma
• Transizioni di fase di forma (soluzioni algebriche ai punti critici)
R. R. R. R. R. R. R. R. FossionFossionFossionFossionFossionFossionFossionFossion
Magna GreciaMagna GreciaMagna GreciaMagna Grecia
PARTENZA DI UNA PERSONA AMATA – UCCIA DE SANTIS
(canzone popolare)
Bella io parto arrivederci addio
Dalle foglie mi si spezza il cuore
Le foglie di canna
Mi feriscono per te,
Per la tua bella signoria.
Il pianto mi ha trattenuto il passo,
La lingua mi ha ritirato la favella,
Così ci han condannato i tuoi,
Che io parta e tu rimanga.
PARTENZA DI UNA PERSONA AMATA – UCCIA DE SANTIS
(canzone popolare)
Bella io parto arrivederci addio
Attà fiddha mu spezzìzete i cardìa,
Ta fiddha calamènja
Me trapanìzon ghià sena,
Cittin òrian signorìa.
O clàma m’antartènezze ton pàsso,
I glòssa mu ìsire tin omilìa,
Itu mas cundànnezze ‘so spìti,
Ivò na taràsso ce isù na mìni.
Il Grecanico o il Griko
Dubbi sull’ origine• Greci antichi (2800 anni fa!)• Diaspora dei Greci dopo il sacco di Constantinopoli (1453 d.C)
R. R. R. R. R. R. R. R. FossionFossionFossionFossionFossionFossionFossionFossion
----2222---- Modello Collettivo di Modello Collettivo di Modello Collettivo di Modello Collettivo di Bohr&MottelsonBohr&MottelsonBohr&MottelsonBohr&Mottelson
R. R. R. R. R. R. R. R. FossionFossionFossionFossionFossionFossionFossionFossion
1. 1. 1. 1. Modello Collettivo/Geometrico di Bohr & Mottelson
• Il nucleo è considerato come una goccia di materia nucleare molto densa, e che ha una forma specifica in equilibrio.
•Il carattere di una vibrazione nucleare dipende della forma in equilibrio. Ci sono due casi importanti:
- una vibrazione intorno ad una forma sferica (β=0)
- una vibrazione intorno ad una forma deformata (β>0)
Modi di vibrazione nucleare
R. R. R. R. R. R. R. R. FossionFossionFossionFossionFossionFossionFossionFossion
1. 1. 1. 1. Modello Collettivo/Geometrico di Bohr & Mottelson
Invece di descrivere un nucleo di massa A con i 3A(r) gradi di libertà di tutti i nucleoni presenti, èpossibile descrivere le proprietà collettive con un
insieme di parametri ridotti αλµ(r1,…,rA)
λ=0: compressione (solo ad alte energie)
λ=1: traslazione (non è una eccitazione intrinseca)
λ=2: vibrazione quadrupolare
λ=3: ottupolo
λ=4: esadecupolo...
λ=2 λ=3 λ=4
R. R. R. R. R. R. R. R. FossionFossionFossionFossionFossionFossionFossionFossion
1. 1. 1. 1. Modello Collettivo/Geometrico di Bohr & Mottelson
Vibrazione ottupolare
deformazione verso una forma di pera
Animazione dal sito web dell’ Università di Lund
R. R. R. R. R. R. R. R. FossionFossionFossionFossionFossionFossionFossionFossion
21Y±
±
20Y
1. 1. 1. 1. Modello Collettivo/Geometrico di Bohr & Mottelson5D oscillatore quadrupolare
22Y±
±
( )22 2 2 1 2 1 2 2 2 2, 0,ia D a a a aν µ µν
να θ − + − += = = =∑
Armoniche sferiche
XY
Z
(aλµ)=β,γ,θi
X’
Y’
Z’
LAB
(αλµ)
INTR.
Angoli Euler θi
Cambiamo il sistema di riferimento…
…per trovare un interpretazione per i parametri di deformazione
R. R. R. R. R. R. R. R. FossionFossionFossionFossionFossionFossionFossionFossion
φ [0,2π]
θ [0,π]
Χ
Υ
Ζ ( )
( )
( ) ( )
0
0
0
5, 0 1 cos 3 sin
2 16
5, 1 cos 3sin
2 2 16
50 1 2cos
16
X
Y
Z
R R
R R
R R
πθ ϕ β γ γπ
π πθ ϕ β γ γπ
θ β γπ
= = = + − +
= = = + − −
= = +
1. 1. 1. 1. Modello Collettivo/Geometrico di Bohr & Mottelson
1-21-1-12r z
11-22-1-1r y
-211-12-1r x
300°180°60°240°120°0°γ
rx
ry
rz
(1) β=0
Sferico, Rx=Ry=Rz
(3) β>0, γ=n*60°
Triassiale
Rx=Ry=Rz
(2) β>0 e γ=n*60° axial symmetric
/
Prolato
R1=R2<R3
oblato
R1<R2=R3
/ /
R. R. R. R. R. R. R. R. FossionFossionFossionFossionFossionFossionFossionFossion
(1) β=0
Sferico
(3) β>0, γ=n*60°
triassiale
1. 1. 1. 1. Modello Collettivo/Geometrico di Bohr & Mottelson
1-21-1-12r z
11-22-1-1r y
-211-12-1r x
300°180°60°240°120°0°γ
(2) β>0 e γ=n*60° axial symmetric
/
Asse di simmetria
rz ryrx rzry rx
Spazio dei parametri
β=0 o β>0, γ [0,60°]
R. R. R. R. R. R. R. R. FossionFossionFossionFossionFossionFossionFossionFossion
1. 1. 1. 1. Modello Collettivo/Geometrico di Bohr & Mottelson
Si puo scrivere l’Hamiltoniana in termini che dipendono dai parametri di deformazione (energia potenziale) e termini che dipendono dai derivati al tempo di questi parametri (energia cinetica).
L’Hamiltoniana di Bohr & Mottelson
Energia cinetica
Energia potenziale Con momento di inerzia
Alla fine, l’Hamiltoniana di Bohr & Mottelson
Rot. Vibr.
LAB Intrinseco
R. R. R. R. R. R. R. R. FossionFossionFossionFossionFossionFossionFossionFossion
1. 1. 1. 1. Modello Collettivo/Geometrico di Bohr & Mottelson
(1) Potenziale non dipendende da γ(γ-instabile)
Puoi separare l’Hamiltoniana in una parte che dipende da β...
… ed una parte che dipende da γ
(2) γ-stable (γ=kπ/3) simm. ass.
Soluzione dell’ Hamiltoniana di Bohr & Mottelson
Solo in questo caso l’Hamiltonianasi può solvere esattamente
es.1 V(β)=osc. harm.
es.2V(β)=buco quadro infinito=> Soluzione E(5) per punto critico di un transizione di fase di forma
Fig. from L. Fortunato
In tutti gli altri casi, l’Hamiltoniana NON si può solvere esattamente, abbiamo invece soluzioni approssimative
es. V(β)=buco quadro infinito=> Soluzione X(5)
/(2bis) Triassiale (γ=kπ/3)
Compendio di tutti le soluzioni algebriche: L. Fortunato, Eur. Phys. J. A26 (2005) 1-30.
R. R. R. R. R. R. R. R. FossionFossionFossionFossionFossionFossionFossionFossion
1. 1. 1. 1. Modello Collettivo/Geometrico di Bohr & Mottelson
Uno spettro d’eccitazione collettivo schematico
nβ numero di “quanti” di vibrazione,
nγ numero di “quanti” di rotazione
(β,γ)
Vibrazioni (eccitazioni intrinseche)
Rotazioni(non sono eccitazioni intrinseche)
(per nuclei deformati, β>0)
R. R. R. R. R. R. R. R. FossionFossionFossionFossionFossionFossionFossionFossion
1. 1. 1. 1. Modello Collettivo/Geometrico di Bohr & Mottelson
Vibrazioni tipo β(simmetria assiale)
Vibrazioni tipo γ(deformazione triassiale)
Di un nucleo sferico non si osservano dei rotazioni
Animazioni dall sito web dell’ Università di Lund
R. R. R. R. R. R. R. R. FossionFossionFossionFossionFossionFossionFossionFossion
----2222---- Gli stati Gli stati Gli stati Gli stati bosonicibosonicibosonicibosonici coerenticoerenticoerenticoerenti
R. R. R. R. R. R. R. R. FossionFossionFossionFossionFossionFossionFossionFossion
2. Stati Coerenti: definizione
Nel sistema di riferimento del laboratorio (LAB frame) possiamo definire un condensato di N bosoni, per lo stato fondamentale, capace di fare di deformarsi in modo quadrupolare con dei parametri α2µ analoghi ai parametri collettivi del modello di Bohr & Mottelson
( )2 2; 0N
N s dµ µ µµα α+ +∝ +∑
( )( )10 2 22
; ,
cos sin 0N
N
s d d d
β γ
β γ β γ+ + + +− +∝ + + +
20
21 2 1
22 2 2
cos
0
sin2
a
a
a a
αβ γ
β γ
−
−
== =
= =
J.N. Ginocchio & M.W. Kirson, Phys. Rev. Lett. 44 (1980) 1744.
A.E.L. Dieperinket al., Phys. Rev. Lett. 44 (1980) 1747.
A. Bohr & B.R. Mottelson, Phys. Scripta22 (1980) 468.
XY
Z
(aλµ)=β,γ,θi
X’
Y’
Z’
LAB
(αλµ)
INTR.
Angoli Euler θi
R. R. R. R. R. R. R. R. FossionFossionFossionFossionFossionFossionFossionFossion
( )( )( )1
/ 220 2 22
; , cos1
s 0! 1
n1
iN
NN s dN
d dβ γ β γ ββ
γ+ + + +− += + + +
+normalizzazione
Calcolare l’effetto degli operatori b, b+
tramite derivazioni
2. Stati Coerenti: la normalizzazione
Come si fanno dei calcoli con gli Stati Coerenti?Esercizio: la normalizzazione
; , ; , 1N Nβ γ β γ =
( ){ }
( ){ }
1
0 2 2
† †0 2
† † † †0 2 2
2
cos si
cos sin
co
0
in
n
s s
0N
N
s d d d
s d d d
s d d d
β γ β γ
β γ β γ
β γ β γ
−
−
−
−
+ + +
∂ ∂ ∂ ∂ + + + ∂ ∂ ∂ ∂
+
=
+ +
( ){ }( ){ }† † † †
0 2 2
0 2 2cos s
cos in
n
s 0
i0N
N
s d d
s d
d
d dβ γ β
β
γ
β γ γ
−
−+ + +
+ + + { } { }2
2 12 121 cos 2 sin 0 02
.... ..N N
Nββ γ γ − −
= + +
{ } { } ( ) { } { }
( )
2
2
11... ...... ..0 1 0
1
.0 0
!
N NN
N
NN
N
β
β
−−= +
= +
Troviamo una formula di iterazione
Lo stato coerente ben normalizzato in β,γ
R. R. R. R. R. R. R. R. FossionFossionFossionFossionFossionFossionFossionFossion
( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
0,
ˆ ˆ ˆLLL
s s d d l l l l l l l ll l l l L
H E n n b b b bε ε υ + +′ ′ ′ ′
′ ′= + + + × ⋅ × +∑ % % L
† † †0
1ˆ ...2
H E b b u b b b bαβ α β αβγδ α β γ δαβ αβγδ
ε= + + +∑ ∑
( )( )2ˆ ˆ ˆˆ ˆ ,CQF d dH n Q Q Q s d d s d dχ χ χµ µ µ µ
ε κ χ+ + += − ⋅ = + + ×% %
2. 2. 2. 2. Stati Coerenti: L’Hamiltoniana
L’Hamiltoniana nell’ IBM
Conserva il numero dei bosoni N, è Hermitiana…
… ed ha momento angolare L=0
ns=N-nd
E0’+εnd( ) ( )2 2ˆ ˆQ Qκ− ⋅
Consistent Q-Formalism (stesso Q per energie ed EM transizioni)
L’Hamiltoniana più compatta che descrive i tre limiti U(5), SU(3) & O(6)
, ,( 1)
; ( 1)
l ml m l mb b
s s d dµµ µ
+−
−
= −
= = −
%
%%
Trucco per fare che gli operatori di annichilazione si trasformano
come armoniche sferiche
Siamo interessati all’ interazione quadrupolare-quadrupolare
Termini “one-body”
Termini “two-body”
R. R. R. R. R. R. R. R. FossionFossionFossionFossionFossionFossionFossionFossion
2. 2. 2. 2. Stati Coerenti: L’Hamiltoniana
Vibratore sferico
Rotore deformato con simmetria assiale
Rotore deformatoγ-instabile
×
L’Hamiltoniana nel “consistent Q-formalism”
Quale è la forma nucleare che corrisponde con i limiti diversi, e con ogni punto del triangolo di simmetria?
• Sui limiti:soluzioni algebriche per lo spettro e per le transizioni EM• Fuori dai limiti:solo calcoli numerici
R. R. R. R. R. R. R. R. FossionFossionFossionFossionFossionFossionFossionFossion
3. 3. 3. 3. Stati Coerenti: Superficie d’Energia
( )( )2
ˆ ˆˆ ˆ
ˆ
CQF d dH n Q Q
Q s d d s d d
χ χ
χµ µ µ µ
ε κ
χ+ + +
= − ⋅
= + + ×% %
( )( )( )1
0 2 2/ 2 22
1 1; , cos sin 0
! 1
N
NN s d d dN
β γ β γ β γβ
+ + + +− += + + +
+
Abbiamo un’ Hamiltoniana
Abbiamo uno stato coerente/intrinseco
Calcoliamo la superficie d’energia E(β,γ) (PES, Potential Energy Surface)
$ ( )† †
† † † † †2 2 1 1 0 0 1 1 2 2
† † † † †2 2 1 1 0 0 1 1 2 2
. 1m
d m mm
n d d d d
d d d d d d d d d d
d d d d d d d d d d
−
− − − − −
− − − −
= = −
= − + − +
= + + + +
∑% %
% % % % %
( ){ } { }
22 12 2 2 1
2cos 2 si ...n 0 0
2!.
1..
N
N
NN
N
ε ββ γ γβ
− − = +
+
2
2ˆ
1dn Nβε ε
β=
+( ) ( ) 121 ! 1
NN β
−− +
( ){ } ( ){ }† † †
0 0 2 2 2 22
.1
ˆ 0 0! 1
. ... .NN
d Nn d d d d d dN
εβ
− −= + ++
Prodotto scalare
( ){ } { } { } { } { } { }† † †2
0 0 2 2 2 2
... ..1
0 0 0 0 0 0! 1
... ... ... ... .N N N
N
N N N
d d d d d dN β − −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ +
R. R. R. R. R. R. R. R. FossionFossionFossionFossionFossionFossionFossionFossion
2. 2. 2. 2. Stati Coerenti: Superfecie d’Energia
( )( )2
ˆ ˆˆ ˆ
ˆ
CQF d dH n Q Q
Q s d d s d d
χ χ
χµ µ µ µ
ε κ
χ+ + +
= − ⋅
= + + ×% %
( )†
2 2 1 1 0 0 1 1 2 2
ˆ ˆ. 1m
m mm
Q Q Q Q
Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q
−
− − − −
= −
= − + − +
∑
Calcolo della parte –κQ.Q
†, 1m mb b =
( )† †2 1 1 2
† †2 1 1 2
† † †2 1 1 2 2 2
1
d d d d
d d d d
d d d d d d
− −
= −
= −
% %
, ,( 1)
; ( 1)
l ml m l mb b
s s d dµµ µ
+−
−
= −
= = −
%
%%
Prodotto scalare
Tutti i termini “two-body”in “normal ordering”
Extra “one-body” terms
93 termini in totale !!!
R. R. R. R. R. R. R. R. FossionFossionFossionFossionFossionFossionFossionFossion
( )
( )
( )( )
2 22
2 2
2 4 3 222
,
ˆ ˆˆ; . ;
5 1
1 1
1 2 24 cos3 4
7 71
CQF
d
d
E
N n Q Q N
N N
N N
β γ
βγ ε κ βγ
χ ββε κβ β
κ χ β χβ γ ββ
≡ −
+ += −
+ + −
− − + +
Energia dello stato fondamentale in funzione dei parametri di deformazione E(β,γ)
Parte sferica
Parte deformata
Dipendenza da γ (triassialità)
2. 2. 2. 2. Stati Coerenti: Superficie d’Energia
In[18]:= $TextStyle= 8FontSize→ 14<;Hsph@n_, β_D = n∗β^2êH1+β^2L;Hdef@n_, β_, γ_, χ_D =
HnêH1+β^2L∗H5+H1+ χ^2L ∗β^2L +
n∗Hn−1L êH1+β^2L^2∗H2ê7∗χ^2∗β^4−4∗Sqrt@2ê7D∗χ∗β^3∗Cos@3∗γD+4∗β^2LL;
H@n_, β_, γ_, ε_, κ_, χ_D =
ε∗Hsph@n, βD −κ∗Hdef@n, β, γ, χD
Out[21]=nβ2 ε
1+ β2− κ
i
k
jjjjjjjjjjjjjjjnH5+ β2 H1+ χ2LL
1+ β2+
H−1+nL nikjjjj4β2 + 2β4χ2
7−4$%%%%%2
7β3χ Cos@3γDy{
zzzzH1+ β2L2
y
{
zzzzzzzzzzzzzzz
Con l’aiuto di Matematica
R. R. R. R. R. R. R. R. FossionFossionFossionFossionFossionFossionFossionFossion
2. 2. 2. 2. Stati Coerenti: interpretazione geometrica dell’IBM
In[31]:= Plot@H@10, β,0,1,0,0D, 8β,0,3<,PlotLabel−> "ε=1,κ=0",AxesLabel→ 8"β","E"<D
0.5 1 1.5 2 2.5 3β
2
4
6
8
E ε=1,κ=0
In[33]:= ParametricPlot3D@8β∗Cos@γD, β∗Sin@γD, H@10, β,0,1,0,0D<,8β,0,3<, 8γ,0,Piê3<, ViewPoint→ 81, −2,2<,BoxRatios→ 81,1,1<,AxesLabel→ 8"β Cosγ","β Sinγ","E"<D
01
23
β Cosγ
0
1
2β Sinγ
024
6
8
E
1
2Sinγ
In[34]:= ContourPlot@H@10, Sqrt@x^2+y^2D, ArcTan@yêxD,1, 0,0D, 8x, 0.01, 2<, 8y,0.01,2<D;
0 0.5 1 1.5 20
0.5
1
1.5
2
Nucleo sferico vibratore
(ε>>,κ<<) limite U(5)
( )( )
( )( )
2 22
2 2
2 4 3 222
ˆ ˆ, ; . ;
5 1
1 1
1 2 24 cos3 4
7 71
CQF d
d
E N n Q Q N
N N
N N
β γ βγ ε κ βγ
χ ββε κβ β
κ χ β χβ γ ββ
≡ −
+ += −
+ + −
− − + +
βmin=0
.β
γ
β
γ [0,60°]
.
R. R. R. R. R. R. R. R. FossionFossionFossionFossionFossionFossionFossionFossion
2. 2. 2. 2. Stati Coerenti: interpretazione geometrica dell’ IBM
In[43]:= ParametricPlot3D@8β∗Cos@γD, β∗Sin@γD, H@10, β,0,0,1, −Sqrt@7Dê2D<,8β,0,3<, 8γ,0,Piê3<, ViewPoint→ 81, −2,2<,BoxRatios→ 81,1,1<,AxesLabel→ 8"β Cosγ","β Sinγ","E"<D
01
23
β Cosγ
0
1
2β Sinγ
−200
−150
−100
−50
E
0
1
2β Sinγ
In[61]:= ContourPlot@H@10,Sqrt@x^2+y^2D,ArcTan@yêxD,0, 1, −Sqrt@7Dê2D, 8x, 0.01, 2<, 8y, 0.01, 2<D;
0 0.5 1 1.5 20
0.5
1
1.5
2
Nucleo come rotatore limite SU(3)(ε<<,κ>>,χ= Sqrt[7]/2)
( )( )
( )( )
2 22
2 2
2 4 3 222
ˆ ˆˆ, ; . ;
5 1
1 1
1 2 24 cos3 4
7 71
CQF d
d
E N n Q Q N
N N
N N
β γ βγ ε κ βγ
χ ββε κβ β
κ χ β χβ γ ββ
≡ −
+ += −
+ + −
− − + +
In[62]:= ContourPlot@H@10, Sqrt@x^2+y^2D,ArcTan@yêxD,0, 1, Sqrt@7Dê2D, 8x, 0.01, 2<, 8y, 0.01,2<D;
0 0.5 1 1.5 20
0.5
1
1.5
2
+_
In[6]:= PlotAH@10, β,0,0, 1, −Sqrt@7Dê2D, 8β,0, 3<,
PlotLabel−> "ε=0,κ=1,χ=−è!!!!7
2",
AxesLabel→ 8"β","E"<E
0.5 1 1.5 2 2.5 3β
−200
−175
−150
−125
−100
−50E ε=0,κ=1,χ=
−è!!!7
2
prolateoblate
βmin= 2
χ=+Sqrt[7]/2)χ=-Sqrt[7]/2)
β
γ [0,60°].
βγ [0,60°] .
R. R. R. R. R. R. R. R. FossionFossionFossionFossionFossionFossionFossionFossion
2. 2. 2. 2. Stati Coerenti: interpretazione geometrica dell’ IBM
In[39]:= Plot@H@10, β,0,0,1,0D, 8β,0,3<,PlotLabel−> "ε=0,κ=1,χ=0",AxesLabel→ 8"β","E"<D
0.5 1 1.5 2 2.5 3β
−120−110−100
−80−70−60−50
E ε=0,κ=1,χ=0
In[40]:= ParametricPlot3D@8β∗Cos@γD, β∗Sin@γD, H@10, β, 0,0, 1,0D<,8β,0, 3<, 8γ, 0, Piê3<, ViewPoint→ 81, −2, 2<,BoxRatios→ 81, 1,1<,AxesLabel→ 8"β Cosγ", "β Sinγ","E"<D
01
23
β Cosγ
0
1
2β Sinγ
−120
−100
−80
−60
E
0
1
2β Sinγ
In[41]:= ContourPlot@H@10,Sqrt@x^2+y^2D, ArcTan@yêxD,0,1, 0D, 8x,0.01,2<, 8y,0.01, 2<D;
0 0.5 1 1.5 20
0.5
1
1.5
2
Nucleo come rotatore γ-instabile(ε<<,κ>>,χ=0)
( )( )
( )( )
2 22
2 2
2 4 3 222
ˆ ˆˆ, ; . ;
5 1
1 1
1 2 24 cos3 4
7 71
CQF d
d
E N n Q Q N
N N
N N
β γ βγ ε κ βγ
χ ββε κβ β
κ χ β χβ γ ββ
≡ −
+ += −
+ + −
− − + +
βmin=1
β
γ [0,60°]
R. R. R. R. R. R. R. R. FossionFossionFossionFossionFossionFossionFossionFossion
2. 2. 2. 2. Stati Coerenti: interpretazione geometrica dell’ IBM
Triangolo di simmetria dell’IBM
Transizioni di fase di forma
Figs. from R. Casten
X(5), E(5) nuove soluzioni algebriche per i punti critici dei transizioni di
fase di forma
R. R. R. R. R. R. R. R. FossionFossionFossionFossionFossionFossionFossionFossion
2. 2. 2. 2. Stati Coerenti: interpretazione geometrica dell’ IBM
Triangolo esteso di simmetria dell’IBM
Comprende il quarto limite SU(3) (deformazioni oblati),isomorfo con il limite SU(3) (deformazioni prolati)
R. R. R. R. R. R. R. R. FossionFossionFossionFossionFossionFossionFossionFossion
2. 2. 2. 2. RiasuntoGli stati bosonici coerenti come legame fra il
modello collettivo e l’IBM
IBM (LAB)• sui limiti: soluzioni algebriche per lo spettro e per i decadimenti EM• fuori dai limiti: solo soluzioni numerici e a volte difficile di mettere gli stati eccitati in bande differenti• non c’è la nozione della forma nucleare
Mod. Collettivo (INTR.)• nucleo sferico o deformato• eccitazioni intrinseche (vibr. γ o β)• bande d’eccitazione rotazionali
Stati coerenti (INTR.)• con ogni Hamiltonianadell’IBM corrisponde una forma nucleare esplicita• possiamo descrivere ogni banda d’eccitazione con uno stato coerente differente