ALGORITHM

Jo, Heeseung

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이번 chapter에서 배우는 것들

6.1 알고리즘의 개념 및 표현

• 알고리즘의 개념, 알고리즘의 표현

6.2 반복구조

• 루프 제어, 순차 검색 알고리즘, 삽입 정렬 알고리즘

6.3 재귀구조

6.4 정확성과 효율성

6.1 알고리즘 개념 및 표현

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알고리즘의 정형적 정의

An ordered set of unambiguous, executable steps, defining a terminating process

모호하지 않고

실행 가능한 단계들의 집합이며,

단계들에는 순서가 정해져 있고

종료되는 프로세스이다.

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알고리즘의 추상적 특성

하나의 알고리즘은 여러 방식으로 표현 가능

스토리(story)와 책(book)을 통해 본 알고리즘과 표현의 차이?

• 스토리 : 본질적으로 추상적이거나 개념적

• 책 : 스토리에 대한 물리적인 표현

- 책을 다른 언어로 재 출판할 경우, 변하는 것은 스토리의 표현

- 스토리 자체는 변하지 않음

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여러 가지 알고리즘의 표현

여러 가지 알고리즘의 표현

• 예) 섭씨온도를 화씨온도로 변환하기 위한 알고리즘

- 공식으로 표현

- 지시사항으로 표현

"섭씨온도에 5/9를 곱한 다음 그 결과에 32를 더하라"

바탕이 되는 알고리즘은 동일하며, 표현만 다름

• 알고리즘을 표현으로 바꿀 때 문제가 생길 수 있다!

• 알고리즘을 얼마나 자세히 기술해야 하나?

- 기상학자? 일반인?

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알고리즘, 프로그램, 프로세스

알고리즘(algorithm)

• 주어진 일(또는 문제)을 처리하여원하는 결과(output)를 얻기까지의 과정을명확(明確)하고 단계(段階)적으로 서술한 것

프로그램(program)

• (컴퓨터가 이해할 수 있는) 알고리즘의 표현

프로세스(process)

• 프로그램의 실제 수행 중인 상태로 알고리즘의 실행 상태

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알고리즘의 표현 - 프리미티브

자연 언어(natural language)

• 해석이 모호할 우려

• 얼마나 자세히 기술해야 하나

알고리즘의 표현에 사용될 언어가 정확히 정의되지 않거나 정보가충분히 자세하게 기술되지 않을 경우 의사소통 문제가 발생함!

프리미티브(primitive)

• 명확하게 잘 정의된 기초 요소의 집합

• 프리미티브를 정확히 정의하면 많은 모호성 문제 해결

• 프리미티브의 집합이 프로그래밍 언어를 형성

잘 정의된 프리미티브(primitive)들을 필요로 한다

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종이접기 프리미티브

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구문 vs. 의미

구문(syntax) : 프리미티브의 기호 표현

• 'air'의 구문 요소 : 3개의 기호

의미(semantics) : 프리미티브가 나타내는 개념

• 'air'의 의미 : 지구를 둘러싼 대기의 하층부를 구성하는 무색, 무취의투명한 기체

프로그래밍 언어

• 구문을 철저히 체크

• 왜? 컴퓨터가 해석해야

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의사코드

의사코드(pseudo code)

• 프로그래밍 언어보다 직관적이고 형식이 자유로운 표기 체계(가공의 언어)

• 알고리즘 개발 과정에서 생각들을 보다 자유로운 형식으로 표현할 수있는 표기 체계

• 사람만 이해할 수 있으면 된다

알고리즘 표기 시에는 주로 의사코드 사용 -> 왜?

• 프로그래밍 언어로 쓰면 너무 힘들다

- 생각을 방해한다

• 특정 프로그래밍 언어에 종속되지 않으면서 여러 프로그래밍 언어에서구현 가능

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의사코드 프리미티브

배정문

• 이름 = 식

조건선택

• if (조건):활동

• if (조건):활동

else:활동

-

if (해당 연도가 윤년):1일 합계 = 합 / 366

else:1일 합계 = 합 / 365

if (판매액이 감소하였음):가격을 5%만큼 낮추어라

RemainingFunds = CheckingBalance + SavingsBalance

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의사코드 프리미티브

들여쓰기는 중첩된 조건을 표시한다

반복실행

• while (조건): 본체

while (판매할 티켓이 남아있음):한 장의 티켓을 판다

if (비가 오지 않음):if (기온 == 높음):

수영하러 간다else:

골프를 한다else:

TV를 본다

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의사코드 프리미티브

함수 정의

• def 이름():

함수 실행

def ProcessLoan():

if (...):ProcessLoan()

else:RejectApplication()

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의사코드 프리미티브

의사코드로 작성된 Greetings 함수

def Hello():Count = 3while (Count > 0):

print('Hello')Count = Count - 1

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의사코드 프리미티브

매개변수

• def Sort(List):..

// 각기 다른 리스트에 대한 Sort 실행

Sort(단체의 회원 명부)

Sort(결혼식 하객 명부)

6.2 반복 구조

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반복 구조

사전 테스트 루프:

while (조건):본체

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반복 구조

사후 테스트 루프:

repeat:본체until (조건)

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루프 제어의 구성요소들

초기화

• 종료 조건으로 이행되어갈 초기 상태를 확립

테스트

• 현재 상태와 종료 조건을 비교하고 이들이 같으면 반복을 종료

변경

• 종료 조건을 향해 이행되도록 상태를 변화

count = 1;

while (count != 5)

print(count)

count = count + 1

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순차 검색 알고리즘

순차 검색(Sequential Search) 알고리즘

• 리스트에서 특정 값이 나타나는지 검색하는 알고리즘

• 항목들을 리스트에 나타나는 순서대로 비교

문제) n개의 항목을 가지고 있는 배열 L 에서 값 x 검색

• 이 때 값은 오름차순으로 정렬되어 있다고 가정

• x 를 성공적으로 찾으면 x 의 인덱스를 리턴x 를 찾지 못하면 -1 리턴

• x = 8이면? return 3

• x = 2이면? return -1

1 3 6 8 9L : n = 5

0 1 2 3 4

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순차 검색 알고리즘

가장 간단한 방법: 하나하나 비교한다

• 주의: n은 정해진 값이 아니다

input: array L, integer n, integer xoutput: integer indexindex := 0; while (index < n and L[index] x) do

(index := index + 1)if (index = n) then (index := -1)return index

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순차 검색 알고리즘

x = 8일 경우

index = 0L[index] = 1index = 1L[index] = 3 index = 2L[index] = 6index = 3 L[index] = 8

while loop 끝return 3

1 3 6 8 9L : n = 5

0 1 2 3 4

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순차 검색 알고리즘

x = 2일 경우

1 3 6 8 9L : n = 5

0 1 2 3 4index = 0L[index] = 1index = 1 L[index] = 3 index = 2L[index] = 6index = 3L[index] = 8index = 4L[index] = 9index = 5

while loop 끝index = n 이므로,return -1

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순차 검색 알고리즘

앞의 방법은 L의 특성을 사용하지 못함

• 그래서, 비효율적

• L에는 숫자가 순서대로 들어 있음

반면에, 무작위로 나열된 숫자에 대해서도 쓸 수 있는 장점

• ⇒ 실제로 순차 검색이 쓰이는 이유

또, L이 비어 있는 경우도 체크해야

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순차 검색 알고리즘

A better version

if (n < 1) then (return -1)index := 0;while (index < n and L[index] x) do

if (x = L[index]) then (return index)index := index + 1

return -1

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순차 검색 알고리즘

x = 8일 경우

index = 0L[index] = 1index = 1L[index] = 3 index = 2L[index] = 6 index = 3 L[index] = 8

return 3

1 3 6 8 9L : n = 5

0 1 2 3 4

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순차 검색 알고리즘

x = 2일 경우

index = 0L[index] = 1index = 1L[index] = 3L[index] > x 이므로,

return -1

1 3 6 8 9L : n = 5

0 1 2 3 4

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순차 검색 알고리즘

x = 2일 경우

index = 0L[index] = 1index = 1L[index] = 3L[index] > x 이므로,

return -1

1 3 6 8 9L : n = 5

0 1 2 3 4

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순차 검색 알고리즘

순차 검색 알고리즘을 나타내는 의사코드

def Search(List, TargetValue):

if (List가 비어 있음):

검색의 실패를 선언한다.

else:

List 안의 첫 번째 항목을 TestEntry로 선택한다.

while (TargetValue > TestEntry이고 비교할 항목이 남아있음):

List 안의 다음 항목을 TestEntry로 선택한다.

if (TargetValue == TestEntry):

검색의 성공을 선언한다.

else:

검색의 실패를 선언한다.

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Sort 정렬(整列)

문제 정의

• 데이타들이 주어졌을 때, 전체 데이타를 순서대로 배치

주어진 단어들을 사전 순으로 정렬(sort)

• 시작: Fred Alex Diana Byron Carol

• 완료: Alex Byron Carol Diana Fred

순서?

• 두 개의 데이터가 주어지면, 어느 쪽이 큰 지를 정의해야

• 사전 순서: A < B < C < D ...

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삽입 정렬 알고리즘

리스트(list) 항목을알파벳 순으로정렬하기

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삽입 정렬 알고리즘

일반화시키면..

• 리스트에서 정렬되지 않은 부분의 첫 번째 이름을 꺼내고,

• 이 이름보다 큰 이름들을 아래쪽으로 이동하고,

• 아까 꺼낸 이름을 빈자리에 다시 삽입

의사코드로 나타내면..

이를 반복적으로 실행

기준 항목을 임시 공간에 옮겨 List에 빈자리를 만든다

while (빈자리 위쪽에 이름이 있고 그 이름은 기준 항목보다 큼):

빈자리 위쪽의 이름을 빈자리로 옮겨 그 이름 위에 빈자리를 만든다

기준 항목을 List 의 빈자리로 옮긴다

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삽입 정렬 알고리즘

의사코드로 표현된 삽입 정렬 알고리즘

def Sort (List):

N = 2

while (N의 값이 List의 길이 이하임):

List의 N 번째 항목을 기준 항목으로 선택

기준 항목을 임시 공간에 옮겨 List에 빈자리를 만든다

while (빈자리 위쪽에 이름이 있고 그 이름은 기준 항목보다 큼):

빈자리 위쪽의 이름을 옮겨 그 이름 위에 빈자리를 만든다

기준 항목을 List의 빈자리로 옮긴다

N = N + 1

6.3 재귀 구조

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재귀 구조

재귀법(recursion)

• 한 프로시저를 실행하면 그 안에서 다시 동일한 프로시저의 실행으로이어짐

• 동일한 프로시저에 대한 여러 개의 호출이 중첩되며, 이 중 한 개의호출본에 대해 진행이 이루어지고, 나머지 호출본들은 다른 호출본들이완료되기를 기다림

루프와 재귀

• 루프 : 반복되는 명령 집합을 끝내고 다시 반복하는 방식

• 재귀에서는 명령 집합을 원래 작업의 부분 작업으로서 반복

재귀 시스템

• 일종의 반복적인 프로세스

• 적절한 제어가 중요!

• 종료조건에 대한 테스트와 종료조건에 도달하도록 보장하는 설계가 중요!

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이진 검색 알고리즘

리스트가 정렬되어 있을 때 특정 항목을 찾는 문제

• 리스트에서 John이라는 항목을 검색하기 위한 전략의 적용

문제 해결의 발판

• 사전을 검색할 때사용되는 프로시저를생각해본다

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이진 검색 알고리즘

방법

• 항상 리스트의 "중앙"에서 검색 시작

- 이 문제에서 "중앙"은 리스트 후반부의 첫번째 항목이라 가정

• 리스트 중앙 항목이 목표값일 경우, 검색 성공!

• 그렇지 않으면,

- 목표값이 지금 비교한 항목보다 작은지 또는 큰지에 따라 리스트의 전반부또는 후반부로 검색 범위를 제한

- 리스트의 남은 부분에 대하여서도 남은 리스트 부분의 "중앙" 항목을 다음검사 항목으로 선택

- 목표값이 원래 리스트에 들어 있지 않을 경우 검색범위가 리스트의 구간으로좁혀질 때까지 문제의 리스트를 작은 구간으로 계속 분할

- 빈구간이 될 때까지 반복 : 빈 구간이 나타나면 검색은 실패!

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이진 검색 알고리즘

0 n-1index = (n-1)/2

x = L[index] ?x < L[index] x > L[index]

0 (n-1)/2-1index (n-1)/2+1 n-1index

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이진 검색 알고리즘

이 과정을 되풀이하다가, 하나만 남았을 때:

• array의 시작도 끝도 모두 index와 일치

• x = L[index] : 찾았다!

• x < L[index] : array끝을 index-1로 -> 빈 array

• x > L[index] : array시작을 index+1로 -> 빈 array

index index index

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이진 검색 알고리즘

의사코드로 표현한 이진 검색 알고리즘 초안

if (List가 비어 있음):

검색 실패를 보고한다.

else:

TestEntry = List 안의 "중앙" 항목

if (TargetValue == TestEntry):

검색 성공을 보고

if (TargetValue < TestEntry):

TargetValue에 대해 TestEntry 앞의 List 부분에 Search()를적용하고, 검색 결과를 보고

if (TargetValue > TestEntry):

TargetValue에 대해 TestEntry 뒤의 List 부분에 Search()를적용하고, 검색 결과를 보고

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이진 검색 알고리즘을 재귀로 풀기

TestEntry = List 내의 "중앙" 항목

TargetValue < TestEntry

TestEntry

Search(List, TargetValue)

Search(Sublist, TargetValue) Search(Sublist, TargetValue)

Sublist = TestEntry 앞의 List 부분 Sublist = TestEntry 뒤의 List 부분

TargetValue > TestEntry

TestEntry

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이진 검색 알고리즘을 재귀로 풀기

의사코드로 표현한 재귀구조인 이진 검색 알고리즘

def Search (List, TargetValue):

if (List가 비어 있음):

검색 실패를 보고

else:

TestEntry = List 안의 “중앙” 항목

if (TargetValue == TestEntry):

검색 성공을 보고

if (TargetValue < TestEntry):

Sublist = TestEntry 앞의 List 부분

Search(Sublist, TargetValue)

if (TargetValue > TestEntry):

Sublist = TestEntry 뒤의 List 부분

Search(Sublist, TargetValue)

6.4 효율성과 정확성

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알고리즘 효율성

효율성(efficiency) : 알고리즘이 얼마나 좋은가의 척도

• 끊임없이 알고리즘을 개발하는 이유

• 당연히 더 효율적인(efficient) 알고리즘 사용

예: 100명의 이름 중에서 검색(search)하라

• 순차 검색(sequential search): 평균 50개는 찾아야

• 이진 검색(binary search): 7번만에 찾는다

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알고리즘 효율성

최악의 상황에서의 삽입정렬의 적용

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알고리즘 효율성

삽입 정렬 알고리즘에 대한 최악 경우 분석 그래프

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알고리즘 효율성

이진 검색 알고리즘에 대한 최악 경우 분석 그래프

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소프트웨어 검증

검증(Verification) : 과연 좋은 알고리즘인가 검사

• 예: 금 목걸이 문제

- 한 번은 반드시 끊어야 한다

- 세 번 끊었다. : 더 좋은 알고리즘이 가능

- 한 번만 끊었다. : 가장 좋은 알고리즘

✓ 어떤 여행자가 7개의 고리로 된 황금 사슬을 가지고 있다

✓ 이 여행자가 외딴 호텔에서 7일 밤을 지내야 한다

✓ 매일 밤 숙박료로 사슬 고리 한 개를 주어야 한다

✓ 숙박료를 미리 내는 일 없이 매일 아침 호텔에 숙박료를 내기 위해 끊어야 할 고리의 최소 개수는 몇 개인가?

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소프트웨어 검증

3번 끊어 사슬 분리하기

1번만 끊는 사슬 문제 해법

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소프트웨어 검증

정확성에 대한 증명

• 명제(assertion)

- 디버깅(debugging)의 한 방법

- 프로그램 내에서 어느 위치에서는 꼭 성립해야 하는 expression을 넣는 기법

• 참고: C의 <assert.h>

- assert(first < last);

- first < last 이면: nothing

- first >= last 이면: error message 출력Assertion failed: 'first < last'

테스트 : error가 없는가 검사

• 흔히, 프로그램을 작성하지 않은 사람이 검사

• 예: alpha version, beta version