http://xmaths.free.fr/ TES Probabilits Corrections

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O

Exercice 20

On choisit un enfant au hasard.

On note A l'vnement : l'enfant est porteur du caractre gntique A et

A

son contraire.

On note T+ l'vnement : le test est positif et T- le contraire de T+.

1) En sachant que dans la population tudie, un enfant sur 1000 est porteur du caractre A, on peut faire l'arbre de probabilits suivant :

T+ p(AT+) = 0,001 x 0,99 = 0,00099

A

T- p(AT-) = 0,001 x 0,01 = 0,00001

T+ p(

A

T+) = 0,999 x 0,02 = 0,01998

A

T- p(

A

T-) = 0,999 x 0,98 = 0,97902

L'vnement T+ avoir un test positif est la runion des deux vnements disjoints AT+ et

A

T+ .

On a donc p(T+) = p(AT+) + p(

A

T+) (formule des probabilits totales) D'aprs l'arbre P(T+) = 0,001 x 0,99 + 0,999 x 0,02 = 0,00099 + 0,01998 donc p(T+) = 0,02097 La probabilit qu'un enfant ayant un test positif soit porteur du caractre A, note pT+(A) est :

pT+(A) = p(AT+)

p(T+) = 0,00099

0,02097 donc pT+(A) =

11233

4,7%

2) Si le test est utilis avec une population pour laquelle des tudes statistiques ont montr qu'un enfant sur 100 tait porteur du caractre A, on pourra faire l'arbre de probabilits suivant :

T+ p(AT+) = 0,01 x 0,99 = 0,0099

A

T- p(AT-) = 0,01 x 0,01 = 0,0001

T+ p(

A

T+) = 0,99 x 0,02 = 0,0198

A

T- p(

A

T-) = 0,99 x 0,98 = 0,9702

On a alors P(T+) = 0,01 x 0,99 + 0,99 x 0,02 = 0,0099 + 0,0198 donc p(T+) = 0,0297 La probabilit qu'un enfant ayant un test positif soit porteur du caractre A, est :

pT+(A) = p(AT+)

p(T+) = 0,0099

0,0297 donc pT+(A) =

13

33,3%

3) On utilise le test avec une population pour laquelle des tudes statistiques ont montr qu'un enfant avait une probabilit p d'tre porteur du caractre A.

En utilisant la mme mthode qu'aux questions prcdentes, on peut crire :

P(T+) = p x 0,99 + (1 - p) x 0,02 = 0,99 p + 0,02 - 0,02 p = 0,97 p + 0,02 La probabilit qu'un enfant ayant un test positif soit porteur

du caractre A, est :

pT+(A) = p(AT+)

p(T+) = 0,99p

0,97p + 0,02 donc V(p) = 99p

97p + 2

(On peut justifier que la fonction V est croissante sur [0 ; 1])

La reprsentation graphique de V(p) pour p [0 ; 1] permet de voir que la valeur prdicitive est satisfaisante (proche de 1) lorsque le test est appliqu une population pour laquelle le risque est assez important.

Dans le cas contraire, la valeur prdictive est faible. Un tel test appliqu une population ayant un risque faible

comme dans le 1) conduit un rsultat non satisfaisant dans 95% des cas. Il peut donc avoir dans un tel cas un effet plus nfaste (inquitude, stress) que bnfique.

0,001

0,999

0,99

0,01

0,02

0,98

0,01

0,99

0,99

0,01

0,02

0,98