5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille.

5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille

Un signal périodique quelconque peut toujours être considéré comme une somme de signaux sinusoïdaux.

u(t) = Û.sin (2.f.t + )

Additionnons des signaux sinusoïdaux

- de fréquences multiples d’une fréquence donnée.

- et d’amplitudes et de phases réglables

à l’aide d’un fichier Excel pour reconstituer un signal:

Feuille Microsoft Excel

Le fondamental et les harmoniques

Un signal alternatif périodique uA (t) de fréquence f peut être considéré comme la somme

-d’une fonction sinusoïdale de même fréquence f appelée fondamental :

-uF(t) = ÛF . sin(2.f.t + F).

-d’autres fonctions sinusoïdales dont les fréquences sont des multiples de la fréquence f appelées harmoniques :

- uH2 = ÛH2 . sin(2.2f.t + 2) est l’harmonique 2- uH3 = ÛH3 . sin(3.2f.t + 3) est l’harmonique 3- uH4 = ÛH4 . sin(4.2f.t + 4) est l’harmonique 4

Représentation temporelle

Représentation fréquentielle

ou spectre

f1 = 1 / T

u(t) est un signal sinusoïdal :

u(t) = Û . sin(2..f1.t)

u est composé d ’une seule fréquence f1.C ’est une fréquence pure.

Description temporelle Description fréquentielle

Un signal sinusoïdal est une fréquence pure.

Son spectre est une raie

(ou Dirac).

Un signal peut être décrit de manière temporelle ou de manière fréquentielle.

Exemple :

Fréquentiel : le signal est une fréquence pure de fréquence 1000 Hz et d ’amplitude 10.

Dans ce cas, la description fréquentielle est plus explicite.

Temporel : le signal s’écrit

u(t) = 10 . sin(2..1000.t)

Notre oreille est un excellent analyseur de spectre.

Le diapason du musicien émet un son de forme presque sinusoïdale.

La représentation fréquentielle est bien adaptée pour ce son. En effet, le diapason donne le LA à 440 Hz.

amplitude du son

440 Hz

Etude de l’équivalence entre la représentation temporelle et la représentation fréquentielle.

Clic 1 Clic 2

u(t) = 5.sin(628t)

F (Hz)

t (ms)

Spectres de signaux périodiques

D’un point vue fréquentiel, un signal est une somme de fréquences pures.

Plusieurs fréquences (raies) apparaissent dans son spectre.

Clic 1 Clic 2

u(t)=6,366sin(628t)+2,122sin(3*628t)+1,273sin(5*628t)+0,909sin(7*628t) +0,707sin(9*628t)+0,579sin(11*628t)+...

Û (V)

F (Hz)0

t (ms)10

Clic 1 Clic 2

u(t)=6,366sin(628t)+2,122sin(3*628t)+1,273sin(5*628t)+0,909sin(7*628t)

+0,707sin(9*628t)+0,579sin(11*628t)+...

Û (V)

F (Hz)0

100 300

t (ms)10

Clic 1 Clic2

u(t)=6,366sin(628t)+2,122sin(3*628t)+1,273sin(5*628t)+0,909sin(7*628t)+0,707sin(9*628t)+0,579sin(11*628t)+...

Û (V)

F (Hz)0

100 300 500

t (ms)10

Clic 2

Û (V)

F (Hz)0

100 300 500 700

Clic 1

t (ms)10

Clic 2

Û (V)

100 300 500 700 900F (Hz)

Clic 1

t (ms)10

Clic 1Clic 2

t (ms)10

Û (V)

F (Hz)

100 300 500 700 900 1100

Clic 1 Clic 2

t (ms)10

F (Hz)

Û (V)

100 300 500 700 900 1100

Un signal continu est un harmonique 0 d’un point de vue fréquentiel :

Un signal quelconque périodique u se décompose en

- un signal alternatif appelé ondulation uond,

- un signal continu égal à la valeur moyenne <u>.

u = uond + <u>

Clic 2Clic 1

t (ms)

F (Hz)

u(t) = 5 + 5.sin(628t)

Clic 2Clic 1

Û (V)

F (Hz)0

5Clic 1

t (ms)10

u(t) = 1 + 6,366sin(628t) + 2,122sin(3*628t) + 1,273sin(5*628t)

+ 0,909sin(7*628t) + 0,707sin(9*628t) + 0,579sin(11*628t) +...

Clic 1 Clic 2

u(t)= 1 + 6,366sin(628t) + 2,122sin(3*628t) + 1,273sin(5*628t)

+ 0,909sin(7*628t) + 0,707sin(9*628t) + 0,579sin(11*628t) +...

t (ms)10

Û (V)

F (Hz)0

Clic 1 Clic 2

u(t)= 1 + 6,366sin(628t) + 2,122sin(3*628t) +1,273sin(5*628t)

+ 0,909sin(7*628t) + 0,707sin(9*628t)+0,579sin(11*628t)+...

t (ms)10

Û (V)

F (Hz)0

100 300

Clic 1 Clic 2

u(t) = 1 + 6,366sin(628t) + 2,122sin(3*628t) + 1,273sin(5*628t)

+ 0,909sin(7*628t) + 0,707sin(9*628t) + 0,579sin(11*628t) +...

t (ms)10

Û (V)

F (Hz)0

100 300 500

Clic 1 Clic 2

u(t) = 2 + 6,366sin(628t) + 2,122sin(3*628t) + 1,273sin(5*628t)

+ 0,909sin(7*628t) + 0,707sin(9*628t) + 0,579sin(11*628t) +...

Û (V)

F (Hz)0

100 300 500 700

t (ms)10

Clic 1 Clic 2

u(t) = 1 + 6,366sin(628t) + 2,122sin(3*628t) + 1,273sin(5*628t)

+ 0,909sin(7*628t) + 0,707sin(9*628t) + 0,579sin(11*628t) +...

Û (V)

F (Hz)0

100 300 500 700 900

t (ms)10

Clic 2

u(t) = 1 + 6,366sin(628t) + 2,122sin(3*628t) + 1,273sin(5*628t)

+ 0,909sin(7*628t) + 0,707sin(9*628t) + 0,579sin(11*628t) +...

Û (V)

F (Hz)0

100 300 500 700 900 1100

Clic 1

t (ms)10

Clic 1 Clic 2

u(t)=1+ 6,366sin(628t) + 2,122sin(3*628t) + 1,273sin(5*628t)

+ 0,909sin(7*628t) + 0,707sin(9*628t) + 0,579sin(11*628t)+...

t (ms)10

Û (V)

F (Hz)0

100 300 500 700 900 1100

WinOscillo est un logiciel qui permet de générer un son et de donner la représentation temporelle ou le spectre du son .

Etudions - les spectres de sons “purs”, - les spectres de sons générés par le logiciel ,- le spectre de la voix.

Application

Te 2.Te

ÉchantillonnageSoit e(t) le signal à échantillonner et

e*(t) le signal échantillonné.

Te 2.Te t

Reconstitution

Soit e*(t) le signal échantillonné et

er(t) le signal reconstitué par bloqueur d’ordre 0.

Comment choisir Te la période d’échantillonnage pour que le signal e(t) soit correctement reconstitué ?

Théorème de Shannon

Etude des spectres des signaux

- à échantillonner,

- échantillonné et

- reconstitué.

Le signal étudié est une somme de 3 sinusoïdes :

s(t) = sin (2..1000.t) + 0,3. sin (2..2000.t) + 0,08. sin (2..3000.t)

Application

Théorème de Shannon :

Dans le cas général, la reconstruction est donc possible si :

- On dispose d’un filtre passe-bas de reconstruction ayant une fréquence de coupure basse Fc telle que : Bmax < Fc < Fe-Bmax.

- Le signal est échantillonné à une fréquence Fe qui vérifie la relation Fe > 2 . Bmax pour éviter les repliements de spectre.

-le signal e(t) ne contient aucune raie au delà d’une certaine fréquence notée Bmax.

Exemple d’échantillonage :

Transmission numérique du son

Le spectre de la parole et de la musique s’étend jusqu’à environ 20 kHz.

20 kHz

Dans le cas d’une qualité CD, le signal de parole ou de musique est échantillonné à 44,1 kHz.

Le théorème de Shannon est donc respecté :

Bmax = 20 kHz 2 . Bmax = 40 kHz et Fe = 44,1 kHz.

Fe > 2 . Bmax

Dans le cas du téléphone numérique le signal est échantillonné à 8 kHz seulement.

Le théorème de Shannon n’est plus respecté.

Son échantillonné à 44100 Hz

La reconstruction n ’est pas possible. Comment échantillonner une parole à 8000Hz ?

En téléphonie, on estime que le message est compréhensible pourvu que les composantes basses fréquences soient transmises correctement.

On place avant l’échantillonneur un filtre passe-bas, dit filtre anti-repliement. En téléphonie numérique, la fréquence de coupure du filtre anti-repliement est de 3,4 kHz.

parole

20 kHzf3,4 kHz

Le signal filtré a un spectre qui ne s’étend plus que jusqu’à 3,4 kHz :

Bmax = 3,4 kHz 2 . Bmax = 6,8 kHz Fe = 8 kHz.

Fe > 2.BMAX

Le théorème de Shannon est ainsi respecté.

Son échantillonné à 8000 Hz avec filtre anti repliement à 3400 Hz

Intérêt de la modulation :

Signal à transmettre

Signal transmis

La modulation permet de “décaler” en fréquence l’information contenue dans un signal.

Cela permet de transmettre simultanément plusieurs signaux (en radiodiffusion par exemple).

2 signaux transmis

f01f02

Ecoutons la modulation d’amplitude d’un signal sinusoïdal :

Ecoutons la modulation d’amplitude d’un signal carré :

Ecoutons la modulation de fréquence d’un signal sinusoïdal :

Ecoutons la modulation de fréquence d’un signal carré :

On cherche à transmettre un signal sinusoïdal de fréquence comprise entre 10 et 100 Hz.

La fréquence de la porteuse est comprise entre 200 et 500 Hz.

Modulation d’amplitude :

Modulation de fréquence :

Application

L’onduleur convertit un signal continu en un signal alternatif.

On cherche à rendre ce signal alternatif le plus “sinusoïdal” possible.

Il faut supprimer les harmoniques. C’est l’intérêt de la commande décalée.

Application

Les onduleurs à M.P.L.I. permettent aussi de limiter la présence d’harmoniques :

Application

5 juin 2002 Stéphane Bizet Stage TS-IRIS Académie Aix-Marseille.

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