Post on 04-Apr-2015
11/04/23 1
Dans ce chapitre, nous allons étudier la réponse temporelle
des systèmes élémentaires en automatique. Ces systèmes
sont décris par des équations différentielles ne dépassant
pas le 2nd ordre.
Leçon 3: Analyse Temporelle Des SystèmesFondamentaux
Introduction
Les grandeurs d’entrée typiques qui vont être exploitées
sont l’impulsion, l’échelon et la rampe.
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I. Etude de l’intégrateur
Un intégrateur est un système dont l’équation temporelle de sa réponse vérifie
(K constante réelle)
I.1 Réponses impulsionnelle
Lorsque l’entrée est une impulsion de Dirac, x(t) =(t), l’équation de l’intégrateur donne :
D’ou
I.2 Réponses indicielle
Lorsque l’entrée est un échelon, x(t)=u(t), l’équation de l’intégrateur donne :
D’ou
txKty
tKty
0
00
tsiKty
et
tsity ?
?
tuKty
0
00
tsitKty
et
tsity ?
?
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II. Systèmes du premier ordre
Un système est dit du premier ordre ou "à constante de temps"
si la relation entre son entrée et sa sortie est une équation
différentielle du premier ordre, de la forme :
txKtyty
constante de temps du système
gain statique:
:
K
x
yK
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II.1 Exemples de systèmes
* Circuit RC
avec K = 1 et = RC? ?
* Amortisseur ressort
x(t) et y(t) étant les variations respectives des positions des points X et Y
p
K
pV
pVpF
e
s
1
tytxYXl
FlketFdt
dyf
21
pfk
k
pX
pY
?
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II.2 Réponse indicielle des systèmes du 1er ordreOn applique à l’entrée un échelon unitaire donc :
après décomposition en éléments simples on obtient:
d’où
Temps de réponse : Le temps de réponse à ±5% de k est tr = 3 .
Temps de montée : le temps de montée est le temps mis pour atteindre 90% de k.
pp
kpS
1
ppkpS
111?
tuektSt
1 ?
1,019,0
mm tt
etuekk
3,2mtd’où ?
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II.3 Réponse à une rampe
Si l’entrée vaut e(t) = a.t alors:
après décomposition en éléments simples on obtient:
d’où remarquons que s(t) tend vers Ka(t − ) (rampe retardée de )
pp
akpS
12
1
12
pppkapS ?
tuetkatSt
?
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II.4 Réponse impulsionnelle
La réponse à une impulsion de
Dirac e(t) =(t)
E(p) = 1 ce qui nous donne
La réponse temporelle devient La réponse impulsionnelle est
une impulsion. Au bout de 3 la
valeur résiduelle vaut 5%, le
système est stable
1
p
kpS
tuek
tSt
?
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III. Systèmes du second ordre
Un système du second ordre est décrit par une équation différentielle de la forme
À conditions initiales nulles, la transformée de Laplace donne
d’où
k : gain statique
W0 : pulsation propre non amortie coefficient d’amortissement
tektsdt
tds
wdt
tsd
w
02
2
20
21
pEkpSppSw
pSpw
0
220
21
12
020
2
pww
p
k
pE
pSpH
?
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III.1 Exemples de systèmes
circuit RLC
d’où
ce qui nous permet d’identifier
(pulsation propre d’un circuit oscillant LC)
(facteur d’amortissement proportionnel à R, plus R augmente plus l’énergie se dissipe vite)
tvdt
tdvRC
dt
tvdLCtv s
sse
2
2
1
12
pRCpLCpv
pvpH
e
s ?
LCw
10
CL
R
2
?
?
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amortisseur + masse + ressort
Le théorème de la résultante dynamique nous permet d’écrire
Ainsi
xykdt
xydf
dt
xdM
2
2
20
2
0
2 21
1
1
1
wp
pw
p
pkM
pkf
pkf
pY
pX
?
Aveck
f
kM
f
2
Mkw 0? ? ?
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III.2 Analyse de la réponse
La fonctions de transfert du système du second ordre est
La décomposition de H(p) en fractions simples dépend des racines de (1 + 2/W0 p + p2/W0
2 ) ou bien (p2+ 2W0 p +W0
2 )
* si >=1 : il s’agit là de deux racines réelles et le système est hyper-amorti
* Si < 1 : Les deux racines sont complexes et conjuguées, le système est sous-amorti
1
2
020
2
pww
p
kpH
1220 w
1
1
202
201
wp
wp
? pp
kpH
21 11
11
20
1
w
Avec
2
0*1
201
1
1
jwp
jwp
?
11
20
2
w ??
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III.3 Temps de réponse
On peut remarquer que le temps de réponse est minimum pour ≈ 0,7
?
On admet que:· si >> 1: tr = 6/w0
· si << 1: tr = 3/.w0
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III.4 Réponse indicielle unitaire
Cas où > 1 La réponse du système est apériodique. La décomposition en éléments simples donne :
d’où
2
21
2
1
21
1
21
1
1
1
11
11
ppp
k
ppp
kpS
21
21
2
21
11
tt
eektS ?
?
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Cas où = 1 Cas de l’amortissement critique, la réponse du système est toujours apériodique
ainsi la réponse temporelle est :
22
1 11
1
1 pppk
pp
kpS
t
et
ktS 11 ?
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Cas où < 1 La réponse du système est oscillatoire amortie "pseudo-périodique". On a maintenant
d’où
selon que l’on choisisse
ou l’autre des cas
ou on aura l’un
ou
22
02
0
20
2220
20
0
1
1
11
1
wwp
w
wwp
w
pkpS
twtwektS aa
tw sin1
cos12
0
2
0 1 wwaAvec
sin cos
twe
ktS a
tw
cos1
12
0
twe
ktS a
tw
sin1
12
0
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Quatre paramètres sont intéressants :– le temps de montée tm– le temps du premier maximum tpic– le dépassement D exprimé en % de la valeur finale– la pseudo période Tp
La réponse indicielle est donc oscillatoire amortie
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Calcul du temps de montée
Le temps de montée tm est le temps que met le système pour atteindre, pour la 1ère fois, la valeur finale K:
A chaque valeur de k correspond un point d’intersection avec la droite y(t) = K. Le temps de montée correspond donc au 1er point d’intersection est:
KtWe
KtS m
tW m
2
021cos
11)(
0
21
12
0Wtm ?
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Calcul du temps du premier maximum (ou temps de pic)
Les valeurs de t correspondant aux maxima et aux minima correspondent aux instant pour les quels la dérivée de y(t) s’annule. On obtient alors:
Le premier dépassement correspond au 1er maximum k=1
d’où
01sin11
1cos1
20
202
202
000
tWWe
tWeW tWtW
20
max1
W
kt
20 1
W
tPic ?
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Calcul du dépassement :
21max1
eKSSD
Calcul de la pseudo période
C’est le temps observé entre deux maximums successifs
20 1
22
WW
Ta
P
Ainsi le dépassement pour cent est
21max1 100100%
e
S
SSD ?
?
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IV. Le minimum à apprendre
txKty • Equation de l’intégrateur
• Système du premier ordre
pk
pH
1
- Temps de réponse à ±5%: tr = 3
- Temps de montée: (90% de k) tm = 2,3
Réponse à une rampe
?
?
?
?(Réponse indicielle)
- Fonction de
transfert- Allures des courbes Réponse
à une impulsion
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• Système du second ordre
1
2
020
2
pww
p
kpH
- si 1 : système hyper-amorti.
- Si < 1 : système sous-amorti
La réponse est apériodique
La réponse est pseudo-périodique
??
?
?
?
- Fonction de transfert
- Temps de réponse
le temps de réponse est minimum pour ≈ 0,7
· si >> 1: tr = 6 /w0· si << 1: tr = 3/ .w0
?
?
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Temps du premier maximum (ou temps de pic)
20 1
W
tPic
Dépassements
21max1
eKSSD
Pseudo période
20 1
22
WW
Ta
P
21max1 100100%
e
S
SSD
?
? ?
?
Temps de montée
21
12
0Wtm ?