Post on 04-Apr-2015
CEA/SHFJ 1ESIEA – Reconstruction tomographique
Méthodes standards de
reconstruction tomographique
en SPECT/PET
Philippe Ciuciu (CEA/SHFJ)
ciuciu@shfj.cea.fr
http://www.madic.org/people/ciuciu
CEA/SHFJ 2ESIEA – Reconstruction tomographique
Cours préparé à partir des cours de Master de physique
médicale, Univ. Paris Sud (Orsay)
d‘Irène Buvat (CNRS, INSERM U678)
Et
de Claude Comtat (CEA/SHFJ)
CEA/SHFJ 3ESIEA – Reconstruction tomographique
Plan
Le problème de la reconstruction tomograhique
Méthodes de reconstruction analytique Rétroprojection filtrée
Techniques de reconstruction itératives Méthodes « algébriques » Méthodes statistiques ou pénalisées
CEA/SHFJ 4ESIEA – Reconstruction tomographique
Problématique : images détectées par la gamma caméra
Intégrale du rayonnement émis dans différentes directions
CEA/SHFJ 5ESIEA – Reconstruction tomographique
Problématique : signaux détectés par le tomographe à EP
Lignes de réponse dans toutes les directions
plans droits
plans croisés
plans droits
CEA/SHFJ 6ESIEA – Reconstruction tomographique
Problématique : estimer la distribution 3D du radiotraceur
coupe transaxiale(ou transverse)
coupe coronale
coupe sagittale
… à partir de mesures intégrales de cette distribution dans différentes directions
CEA/SHFJ 7ESIEA – Reconstruction tomographique
Reconstruction tomographique : factorisation du problème
volume 3D étudié
détecteur en position 1 projection 2D
x
y
z
Ensemble de projections 2D
reconstruction d’un volume 3D
Ensemble de projections 1D
détecteur en position 1 projection 1D
coupe axiale
juxtaposition des coupes volume 3D
reconstruction d’une coupe 2D
CEA/SHFJ 8ESIEA – Reconstruction tomographique
Principe de la reconstruction tomographique
projection 1 3 4
16 32 64
rétroprojection
r
CEA/SHFJ 9ESIEA – Reconstruction tomographique
projection filtréer
rétroprojection filtrée
Principe de la reconstruction tomographique
CEA/SHFJ 10ESIEA – Reconstruction tomographique
Opérateurs impliqués en reconstruction tomographique
u = x cos + y sin
p(u,) = f(x,y) dv-
f *(x,y) = p(u,) d
0
projection rétroprojection
x
yv
CEA/SHFJ 11ESIEA – Reconstruction tomographique
Théorème de la tranche centrale
x = cos y = sin du.dv = dx.dy
transformée de Fourier 1D
P(,) = f(x,y) e-i2u du.dv = f(x,y) e-i2(xx+yy) dx.dy -
+
-
+
-
+
-
+
x
y
u = x cos + y sin v
p(u,)
p(u,) = f(x,y) dv-
+P(,) = p(u,) e-i2u du
-
+
CEA/SHFJ 12ESIEA – Reconstruction tomographique
Plan
Le problème de la reconstruction tomograhique
Méthodes de reconstruction analytique Rétroprojection filtrée
Techniques de reconstruction itératives Méthodes « algébriques » Méthodes statistiques ou pénalisées
CEA/SHFJ 13ESIEA – Reconstruction tomographique
Rétroprojection filtrée
x = cos y = sin
= x2 + y
2
d x.d y = d.du = x cos + y sin
f(x,y) = F(x, y) ei2(xx+yy) d x. d y
-
+
-
+P(,) = F(x, y)
= P(, ) ei2(xx+yy) d x. d y -
+
-
+
= P(, ) | |ei2u d . d 0
-
+
= p’(u, ) d avec p’ (u, ) = P(, ) | |ei2u d 0
-
+
CEA/SHFJ 14ESIEA – Reconstruction tomographique
p(u,)
P(,) || P(,) p’(u,)
f(x,y)
TF
filtrage TF-1
rétroprojection
projections images reconstruites
+f(x,y) = p’(u, ) d avec p’ (u, ) = P(, ) || ei2u d
0 -
Algorithme de rétroprojection filtrée
CEA/SHFJ 15ESIEA – Reconstruction tomographique
Filtered Back-Projection FBP :
1) calculer la transformée de Fourier 1D d’une
projection pour un angle fixé
2) multiplier par le filtre rampe ||
3) calculer la transformée de Fourier inverse 1D de
la projection filtrée
4) rétroprojeter la projection filtrée
5) répéter les étapes 1 à 4 pour chaque angle
Algorithme de rétroprojection filtrée
CEA/SHFJ 16ESIEA – Reconstruction tomographique
p(xr,)
xr
p(xr,)*h(xr)
xr
Convolution par le filtre rampe
h(xr) = F-1{|vxr|}
Opération de projection effectuée
par le scannerRétroprojection
Algorithme de rétroprojection filtrée
CEA/SHFJ 17ESIEA – Reconstruction tomographique
Insuffisance du filtre rampe
w
filtre rampe x filtre de Hann filtre résultant
||
0
1
0 0,8
||w
0 0,8
0
1
0 0,8
1
0
+
||wf(x,y) = p’(u, ) d avec p’ (u, ) = P(, ) || ei2u d
0 -
CEA/SHFJ 19ESIEA – Reconstruction tomographique
Effet du Filtrage
16 36 72 144
1 2 4 8
Sans filtrage,# = 144
Avec filtrage,# = 144
1 2 4 8
16 36 72 144
CEA/SHFJ 20ESIEA – Reconstruction tomographique
SPECT cérébral HMPAO Tc-99m
Syndrome de fatigue chronique
Avant traitement Après traitement IRM anatomique
CEA/SHFJ 21ESIEA – Reconstruction tomographique
Plan
Le problème de la reconstruction tomograhique
Méthodes de reconstruction analytique Rétroprojection filtrée
Techniques de reconstruction itératives Méthodes « algébriques » Méthodes statistiques ou pénalisées
CEA/SHFJ 22ESIEA – Reconstruction tomographique
Reconstruction analytique vs algébrique
rétroprojection filtrée reconstruction algébrique
CEA/SHFJ 23ESIEA – Reconstruction tomographique
Améliorer le Compromis Résolution Bruit
Modèles plus complexes :bruit statistiquedispositif d’acquisition
analytique itérative
reconstructions itératives
reconstructions analytiques
Modèle :Intégrale ligne
CEA/SHFJ 24ESIEA – Reconstruction tomographique
Reconstructions Itératives en TEP
Modèle « réaliste »
Trop complexe pour une inversion analytique directe
Approcher la solution pas à pas, en partant d’une image initiale
CEA/SHFJ 25ESIEA – Reconstruction tomographique
Plutôt que d’estimer la distribution 3D par une implémentation discrète d’une solution analytique telle que FBP (opération directe), on l’estime par une succession d’affinages :
• meilleure modélisation du dispositif discret d’acquisition des données que le modèle de l’intégrale ligne
• incorporation d’un modèle statistique de bruit dans les données
• Intégration durant le processus de reconstruction
d’informations a priori connues sur l’image.
Reconstructions Itératives
CEA/SHFJ 26ESIEA – Reconstruction tomographique
Reconstructions Algébriques et Statistiques
On distingue deux classes d’approches itératives:
1)algébriques [1]
– incluent un modèle discret du dispositif d’acquisition
2)statistiques
– incluent un modèle discret du dispositif d’acquisition
– incluent un modèle statistique du bruit
– peuvent inclure un a priori (bayésiennes)
CEA/SHFJ 27ESIEA – Reconstruction tomographique
Reconstructions Itératives : Caractéristiques
Une reconstruction itérative est caractérisée par [Fessler98]:
• Un modèle paramétrique de l’image, = {j | j = 1,...,n} ;
• un modèle des mesures, reliant les données discrètes
mesurées y = {yi | i = 1,...,m} à l’image :
• un modèle du bruit, c’est-à-dire une distribution de
probabilité pour y ;
• Un critère à minimiser et un algorithme itératif de
minimisation
1
Em
i ij jj
y A
CEA/SHFJ 28ESIEA – Reconstruction tomographique
Plan
Le problème de la reconstruction tomograhique
Méthodes de reconstruction analytique Rétroprojection filtrée
Techniques de reconstruction itératives Méthodes « algébriques » Méthodes statistiques ou pénalisées
CEA/SHFJ 29ESIEA – Reconstruction tomographique
Paramétrisation de l’Image
• Voxel
1
, , , ,
1 , , / 2avec , ,
0 sinon
n
j j j jj
f x y z x x y y z z
x y zx y z
2 2 2
1
, ,n
j j j jj
f x y z b x x y y z z
• Blobs :fonctions à symétrie sphérique (fonctions généralisées de Kaiser-Bessel) qui se chevauchent [Lewitt90,Lewitt92]
1
, , , ,n
j jj
f x y z f x y z
Paramétrisation non unique de l’image
CEA/SHFJ 30ESIEA – Reconstruction tomographique
Modèle d’acquisition : Matrice système
3 3
1
E d dm
i i i j jj
y s f s f
x x x x x x
si(x) probabilité de détecter dans la LOR i une désintégration survenant en x.
Aij probabilité de détecter dans la LOR i une désintégration survenant dans le voxel j
A peut être complexe à souhait…
3
1
E avec dm
i ij j ij i jj
y A A s f
x x x
approche matricielle
CEA/SHFJ 31ESIEA – Reconstruction tomographique
Matrice Système géométrique
Pixel j
paire de détecteurs i
i) projection géométriqueAij volume d’intersection entre le voxel j et la LOR i
CEA/SHFJ 32ESIEA – Reconstruction tomographique
ii) angle solideAij angle solide sous lequel la paire de détecteurs i est vue depuis le voxel j
Pixel j
ij
paire de détecteurs ipaire de détecteurs i
ij’
Pixel j’
ij’ > ij
Matrice Système géométrique (suite)
CEA/SHFJ 33ESIEA – Reconstruction tomographique
• profondeur de pénétration dans le cristal
Pixel j
• diffusions dans les cristaux• non-colinéarité de la paire
de photons• LOR non mesurées (gaps)• …
Pixel j
Modéliser dans la matrice système
CEA/SHFJ 34ESIEA – Reconstruction tomographique
Matrice système peut être gigantesque (tera-octet)
1) calculer les éléments de la matrice en ligne (routine clinique, généralement uniquement géométrique)
2) techniques de factorisation [Qi98] :
A = Asens. dét. Arép. dét. Aattn Agéom.
Asens. dét. : sensibilité des détecteurs (diagonale)
Arép. dét. : fonction de réponse des détecteurs
Aattn : atténuation (diagonale)
Agéom. : projection géométrique
Factorisation de la matrice système
CEA/SHFJ 35ESIEA – Reconstruction tomographique
Modèle du Bruit (TEP)Hypothèse de Poisson pour l’acquisition si :
• le nombre d’atomes du traceur injecté suit une distribution de Poisson
• les localisations spatiales des atomes du traceur, en tout instant, sont des variables aléatoires indépendantes
• les instants auxquels surviennent la désintégration des atomes du traceur sont des variables aléatoires indépendantes, qui suivent une loi exponentielle de moyenne = t1/2/ln2
• les processus de détection de chaque désintégration sont des processus aléatoires indépendants (pas de temps mort)
CEA/SHFJ 36ESIEA – Reconstruction tomographique
Plan
Le problème de la reconstruction tomograhique
Méthodes de reconstruction analytique Rétroprojection filtrée
Techniques de reconstruction itératives Méthodes « algébriques » Méthodes statistiques ou pénalisées
CEA/SHFJ 37ESIEA – Reconstruction tomographique
Données pré-traitées :ré-échantillonage, correction de l’efficacité de détection, de l’atténuation, des coïncidences fortuites et diffusées, du temps mort,…
Données pas Poisson
Données Poisson : corrections dans la matrice système
Pour satisfaire un modèle de Poisson, il faut inclure TOUTES les corrections dans la matrice système et ne reconstruire que des données brutes. Souvent, non réalisable.
Modèle du Bruit (suite)
CEA/SHFJ 38ESIEA – Reconstruction tomographique
Choix d’un modèle statistique de bruit• Aucun : y = A·
• Bruit blanc gaussien :
voxels j
Poissoni ij jy A
voxels j
Gauss , 1ii i ij j yy y A
• Bruit gaussien corrélé/coloré
• Bruit poissonnien
voxels j
Gauss , à déterminer ...ii i ij j yy y A
Avec bruit : y = A·b
CEA/SHFJ 39ESIEA – Reconstruction tomographique
Distributions de Poisson et de Gauss
Distribution de Poisson :• variable entière positive• un seul paramètre
(moyenne = variance)
2
e!
,
x nxP n x
n
n x n x
Distribution de Gauss :• variable réelle• deux paramètres
(moyenne et variance)
21
2
2 2
1, e
2
,
x x
P x x
x x x
CEA/SHFJ 40ESIEA – Reconstruction tomographique
Fonction de Coût/Critère
(y,A) terme d’attache de l’image aux données de projection mesurées y, ie vraisemblance des observations
U() terme d’attache de à un modèle a priori de l’image ie terme de régularisation
Contrainte (non négativité, …)
ˆ arg min ( , ) ( )U
0
y A
CEA/SHFJ 41ESIEA – Reconstruction tomographique
Attache aux données :vraisemblance
• Bruit poissonnien : distance de Kullback-Leibler [Titterington87]
Mesure la distance entre les mesures et le modèle
2( , ) i i
i
y y A A
22( , ) i i ii
y y A A
( , ) log ii i i
ii
yy y
y A A
A
i ij jj
A A
• Bruit blanc gaussien : terme de moindres-carrés
• Bruit gaussien corrélé : moindres-carrés pondérés (WLS)
[Fessler94]
CEA/SHFJ 42ESIEA – Reconstruction tomographique
Maximum de vraisemblance
Approche statistique : terme d’attache aux données maximum de vraisemblance
ˆ arg max log ( | ) ( )p U y
Modèle de bruit poissonnien :
log ( | ) log , , log !i i i ii
p L y y y A A
MLˆ arg max L
Maximum de vraisemblance (ML), sans a priori
CEA/SHFJ 43ESIEA – Reconstruction tomographique
Maximum a Posteriori
Approche statistique : modèle a priori règle de Bayes
| |
log | log log
p pa posteriori p
p
p L p p
yy
y
y y
Maximum a posteriori (MAP) [Hebert89]
MAPˆ arg max logL p
Typiquement : e Up
CEA/SHFJ 44ESIEA – Reconstruction tomographique
Exemple d’A Priori : Champ de MarkovChamp de Markov : modèle de corrélations spatiales locales
N3D 3D ( )
( )j k
jkj k N j
VU
d
2quad.
2
Huber 2
2
2
2
V t t
t tV t
t t
[Geman84]
CEA/SHFJ 45ESIEA – Reconstruction tomographique
Incorporation Information Anatomique
Modèle simple :
désactiver (jk = 0) les corrélations locales si deux voxels j et k appartiennent à deux structures anatomiques différentes
3D ( )
( )j k
jkjkj k N j
VU
d
Image anatomique obtenue par : IRM ou Rayons X (CT)
CEA/SHFJ 46ESIEA – Reconstruction tomographique
Maximisation itérative du critère
Une fois définis :
• un modèle de l’image (voxels, blobs)
• un modèle de l’acquisition (matrice A)
• un modèle statistique du bruit (Poisson, Gauss)
• un critère (Moindres-Carrés, ML, MAP)
Il nous reste à choisir un algorithme permettant de le maximiser
Algorithme le plus classique :
EM-ML et variations (OSEM, RAMLA, …)
CEA/SHFJ 47ESIEA – Reconstruction tomographique
Algorithme Expectation Maximization (EM) [Dempster77]
Critère : fonction de vraisemblance (ML)Algorithme EM : recherche du maximum de vraisemblance
MLˆ arg max log , ,i i i
i
y
A A
A) Absence de maxima locaux
2L : semi-définie négative car T · 2L·
L() est concave : maximisation locale converge vers un
maximum global
22Matrice Hessian :
,ik i il
k l ii
A y ALL
A
CEA/SHFJ 48ESIEA – Reconstruction tomographique
MLˆ arg max log , ,i i i
i
y
A A
Espace incomplet y :
pas de maximisation analytique car p(yi|) dépend de {j | j = 1,...,n}
Espace complet x (y+données manquantes) :
contribution du voxel j à la mesure i {xij | j = 1,...,n; i = 1,...,m; yi = jxj}
p(xij|j) ne dépend que de j
EM-ML (2)
CEA/SHFJ 49ESIEA – Reconstruction tomographique
log | log log !ij ij j ij j iji j
p x A A x x
Maximisation analytique désormais possible
Mais x inconnu !!!
Principe de l’algorithme EM [Dempster77]
Plutôt que de maximiser log p(x | ), on maximise
l’espérance sur x de log p(x | ), en utilisant une
estimation (p) de pour estimer x
EM-ML (3)
CEA/SHFJ 50ESIEA – Reconstruction tomographique
EM-ML (4)
Deux étapes dans EM :
1) calcul de l’espérance (E-step)
2) maximisation de l’espérance (M-step)
On montre que L((p+1)) L((p))
| E log | ,p pQ p x y
1 arg max |p pQ
CEA/SHFJ 51ESIEA – Reconstruction tomographique
E-step :
( )
| , log,
pij jp
i i ij jpi j i
AQ y A
A
A
M-step :
( )( 1)
,
pjp i
j ij pij i i
i
yA
A
A
EM-ML (5)
CEA/SHFJ 52ESIEA – Reconstruction tomographique
Exemple d’application de EM-ML
itérations : 1 2 3 4
itérations : 6 8 16 32
CEA/SHFJ 53ESIEA – Reconstruction tomographique
EM-ML : inconvénients
• convergence trop lente pour cette application
– EM version accélérée : OSEM
– autre algorithme de maximisation : RAMLA
• amplification du bruit avec les itérations
– régularisation de MV : MAP (=MVP)
– arrêter avant convergence
– lisser l’image reconstruite
CEA/SHFJ 54ESIEA – Reconstruction tomographique
EM-ML : Convergence Lente
L(
), Q
(
(p) )
L()Q((p)), approximation de L()
CEA/SHFJ 55ESIEA – Reconstruction tomographique
OSEM : Accélération de EM-ML
( )( 1)
,s
s
sjs i
j ij sij i S i
i S
yA
A
A
Ordered-Subset Expectation Maximization [Hudson94]
1 itération M subsets
M EM iterations
Sous-itération : utiliser qu’un sous-ensemble de projections (subset)
CEA/SHFJ 56ESIEA – Reconstruction tomographique
RAMLA : Alternative à EM-ML
Row Action Maximum Likelihood Algorithm [Browne96]
Row Action : uniquement 1 mesure yi est considérée par sous-itération (1 ligne i de Aij)
( 1) ( ) ( ) 1,
avec mod 1
s
s
s
is s sj j s j i js
i
s
yA
i s m
A
s : paramètre de relaxationis : choix de l’ordre des mesures important pour accélérer
convergence
CEA/SHFJ 57ESIEA – Reconstruction tomographique
EM/ML : amplification du bruit Arrêter après 12 itérations ?
CEA/SHFJ 58ESIEA – Reconstruction tomographique
Régulariser ML• Approche de type MAP (aussi appelée PML pour
Penalized ML)
– inclure dans la fonction un a priori de lissage (terme de régularisation)
– maximisation plus complexe, dépendant du terme de régularisation : De Pierro MAP-EM modifié (valable avec OSMAP) [1], Gradient conjugé pré-conditionné [2], Space-alterning generalized EM (SAGE) [3], …
• Arrêt avant convergence et/ou post-filtrage
• Corrélations locales introduites par la paramétrisation de l’image (blobs)
CEA/SHFJ 59ESIEA – Reconstruction tomographique
Régularisation : résolution vs bruit
Poids de la régularisation,
• paramètre (PML/PWLS)
• largeur filtre de lissage (après OSEM)
• largeur blobs• fréquence coupure(FBP),
fixe le rapport signal-sur-bruit. Compromis bruit-contraste dépend du critère et du modèle de bruit.
CEA/SHFJ 60ESIEA – Reconstruction tomographique
FORE+OSEM : modèle de bruit incorrect
Implémentation classique de EM-ML en milieu clinique :• acquisition en mode 3D pour sensibilité • OSEM 2D pour rapiditéS
pre-correct3D data
Post-filtration Gauss
FORE OSEM
A = Agéom.
• FORE exige des projections consistantes, corrigées pour les fortuits, l’attenuation, les diffusés, etc.
• Données corrigées ne sont plus distribuées selon Poisson.
• ML (OSEM) s’attend à des données distribuées selon Poisson
CEA/SHFJ 61ESIEA – Reconstruction tomographique
Modèle de bruit incorrect artéfactsImages moyennes de 50 simulations, 1 à 10 itérations
FORE+AWOSEM
FORE+OSEM
FORE+AWOSEM
FORE+OSEM
CEA/SHFJ 62ESIEA – Reconstruction tomographique
Attenuation-Weighted OSEM (AWOSEM)
Solution simple à mettre en œuvre
HypothèseCorrection de l’atténuation responsable de la plus grande partie de la déviation à une distribution de Poisson en corps-entier
Inclure la correction de l’atténuation dans la matrice système
pre-correct
3D data
Post-filtration Gauss
FORE OSEMA = Aattn Agéom.
de-correct 2D attn
.
CEA/SHFJ 63ESIEA – Reconstruction tomographique
Application à données corps-entier FDG
3DRP FORE+OSEM FORE+AWOSEM
shfj
CEA/SHFJ 64ESIEA – Reconstruction tomographique
ConclusionReconstructions itératives : grandes potentialités,
MAIS
attention à la manière dont elles sont mises en œuvres :
• une mauvaise modélisation (acquisition, bruit, a priori) peut induire des erreurs de quantification importantes (biais) ;
• prendre garde à la vitesse non-uniforme de convergence (AWOSEM plus lent que OSEM)
• bien valider leur emploi par rapport à leurs conditions d’utilisation