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Raisonnement et logique

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1. Le programme et ses intentions2. L’implication dans le langage courant3. L’implication en mathématiques4. Progressivité des apprentissages : un

exemple

Plan

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1. Le programme et ses intentions

Raisonnement et logique

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Raisonnement logique

Sur des exemples :• les connecteurs logiques « et », « ou »;• les quantificateurs universel, existentiel;• proposition directe, sa réciproque, sa contraposée et sa négation ;• « condition nécessaire », « condition suffisante » ;• négation d’une proposition ;• contre-exemple;• raisonnement par disjonction des cas, recours à la contraposée, raisonnement par l’absurde.

Le programme

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« A l’issue de la seconde, l’élève devra avoir acquis une expérience lui permettant de commencer à distinguer les principes de la logique mathématique de ceux de la logique du langage courant »

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2. Implication dans le langage courant

Raisonnement et logique

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Si tu pars en retard tu vas rater ton train

Cause de la conclusion

Effet de l’hypothèse

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Si tu manges ta soupe tu auras un dessert

Condition nécessaire ou suffisante ?

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3. Implication en mathématique

Raisonnement et logique

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Exemple 1: Implication et équivalence

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ABCD est un quadrilatère. On note I, J, K et L les milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD] et [DA]. Quelle est la nature du quadrilatère IJKL ?

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A quelles conditions IJKL est-il un losange ?

Si IJKL est un losange, peut-on affirmer que ABCD est un rectangle ?

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Exemple 2: le labyrinthe

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Vrai ? Faux ? On ne peut pas savoir ?

Sortie

T S R Q P K L M N O J I H G F E D C B A

Entrée

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X est passé par M

Sortie

T S R Q P K L M N O J I H G F E D C B A

Entrée

17

X est passé par P

Sortie

T S R Q P K L M N O J I H G F E D C B A

Entrée

18Si X est passé par L alors X est passé par K

Sortie

T S R Q P K L M N O J I H G F E D C B A

Entrée

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Valeurs de x

– ∞ 2 +∞

Variations de g

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g est une fonction définie sur IR

Vrai Faux On ne peut pas savoir g (-1) < g (0)

g (-1) < 2 g (2) > g (4)

g (- 2) < g (4) Si x et y sont deux nombres réels tels que x <y alors g (x) < g (y)

Exemple 3

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Exemple 4

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Vrai ou faux ?

Si un nombre quelconque est multiple à la fois de 15 et de 22, alors il est forcément un multiple de 330.Si un nombre quelconque est multiple de 15 et 30, alors il est forcément multiple de 450.Si un nombre est multiple de 1485, alors il est multiple de 15 et de 99.

Construire des phrases sur le modèle des précédentes et se prononcer sur leur valeur de vérité

Exemple 5

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Exemple 6

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Exemple 7

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Progressivité des apprentissagesUn exemple : le sens de variation des fonctions

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 Étape 1 : justification fondée sur l’utilisation de la situation que la fonction modélise.

Lorsqu’on monte une côte à vélo, la vitesse est-elle une fonction croissante ou décroissante de la pente ?

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Étape 2 : Description des variations de g à partir du graphique Considérons la fonction g définie sur IR par .

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Étape 3 : Exploitation du tableau de variation de g

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Étape 4 : formalisation de la définition

Imaginer un point M(x ; f(x))variable

savoir lire l’évolution de son ordonnée en fonction de celle de son abscisse