1

Courbes de Bézier

2

Définition d’une courbe de BézierSoient Pi (xi, yi , zi), i = 0, 1, 2, ..., N,

P(u) ( x(u), y(u), z(u)) (px(u), py(u), pz(u)) u [0,1]

où px(u) = i=0,1,2, ..., N fi,N(u) xi

py(u) = i=0,1,2, ..., N fi,N(u) yi

pz(u) = i=0,1,2, ..., N fi,N(u) zi

P représente une courbe de Bézier de degré N dans l'espace à 3 dimensions.

Pour déterminer les fonctions fi,N(u), Bézier a exigé les propriétés suivantes :

(1) La courbe de Bézier doit passer par P0 et PN pour contrôler parfaitement laposition des deux extrémités de la courbe.

(2) La tangente à la courbe en P0 est définie par P1 - P0 et la tangente à la courbeen PN est définie par PN – PN-1 pour contrôler la tangente aux deux extrémités.

3

fi,N(u) = N ui (1-u)N-i est une distribution binomiale de paramètre u et N. i

(3) La propriété précédente peut être généralisée à des dérivées d’ordre plusélevé. Ex. : la dérivée d’ordre 2 à P0 est définie par P0, P1 et P2.

En général, la dérivée d’ordre r à P0 est définie par {Pi, i = 0, 1, 2, ..., r}.

Nous obtenons un résultat semblable pour l’autre extrémité PN.

(4) Les fonctions f i,N(u), i = 0, 1, 2, ..., N sont symétriques par rapport à u et 1 – uc’est-à-dire, fi,N(u) = f N-i,N(1 - u).

Cela signifie que nous pouvons inverser la suite de points de contrôle définissantla courbe sans changer la forme de celle-ci.

Cela modifie seulement le sens de parcours dans l’espace paramétrique u [0,1].

Bézier a choisi la famille de fonctions suivantes :

4

P 0

P 1

P 2

P 3

Courbe de Bézier de degré 3

    

P0 P1

P2 P3

N = 3 P(u) = (1 – u)3 P0 + 3u (1 – u)2 P1 + 3u2 (1 – u) P2 + u3 P3.

5

Propriétés des courbes de Bézier

Quelques propriétés des courbes de Bézier dans l'espace à 3 dimensions :

1) P(0) = P0

P(1) = PN

2) i=0,1,2, ..., N fi,N(u) = 1 pour tout u [0,1]

P(u) conv(P0, P1, P2, ...,PN) pour tout u [0,1]

3) P'(u) à u = 0 = N (P1- P0)

le segment est tangent à la courbe en P0.

P'(u) à u = 1 = N (PN - PN-1)

le segment est tangent à la courbe en PN.

6

Propriétés des courbes de Bézier

4) Une transformation affine T aux points de la courbe revient à appliquerT aux points de contrôle de celle-ci.

i=0,1,2, ..., N fi,N(u) (T Pi) T i=0,1,2, ..., N fi,N(u) Pi

Cette propriété n’est pas satisfaite pour des transformations en perspective.

5) Ne permet pas des modifications locales à la courbe.

6) P(u) est un polynôme en u de degré N.

7) Le poids de Pi est : N ui (1-u)N-i

i

le poids maximum de Pi est telle que f'i,N(u) = 0 i.e. u = i/N.

7

Propriétés des courbes de Bézier

8) En augmentant la multiplicité d'un point, le poids associé à ce point est augmenté.

Pi = Pi+1 => fi,N(u) + fi+1,N(u) = fi,N(u) (1 + (N-i)u/[(i+1)(1-u)])

> 0

P 0

P 1

P 2

P 0

P 1

P 3

= P 2

Multiplicité d'un point

8

Propriétés des courbes de Bézier

9) Augmentation du degré de la courbe

But : obtenir une plus grande flexibilité i.e. un plus grand potentiel de modélisation.

Soient V0, V1, V2, ..., VN les points de contrôle d'une courbe de degré N,alors

P0 = V0

Pi = [i / (N+1)] Vi-1 + [1 - i / (N+1)]Vi , i = 1, 2, ..., N

et PN+1 = VN

sont les points de contrôle de la même courbe (mais de degré N + 1).

9

Propriétés des courbes de Bézier

Courbe de Bézier fermée

P4 P3

Une courbe de Bézier de degré N est fermée lorsque les premier et dernierpoints de contrôle coïncident.

Celle-ci est continue d’ordre 1 si P0, P1, PN-1 et PN = P0 sont colinéaires.

P1 P2

(a) P0 = P5 (b)

10)

10

Propriétés des courbes de Bézier

Calcul du vecteur tangent à une courbe de Bézier11)

du

Soient C0,N(u) : une courbe de Bézier de degré N avec comme points de contrôle

P0, P1, P2, ...,PN,

C0,N-1(u) : une courbe de Bézier de degré N-1 avec comme points de contrôle

P0, P1, P2, ...,PN-1,

C1,N(u) : une courbe de Bézier de degré N-1 avec comme points de contrôle

P1, P2, ...,PN,

alors

d C0,N(u)  = N {C1,N(u) - C0,N-1(u)}, u [0,1].

11

Propriétés des courbes de Bézier12) Courbes de Bézier par morceaux.

L'objectif est de permettre un contrôle local sur la courbe.

V 1

V 0

V 2

V ' 1

V 3

V ' 0

V ' 2

V ' 3

=

Courbes de Bézier par morceaux

Continuité d'ordre 0: V3 = V'0

Continuité d'ordre 1: V2, V3 = V'0 et V'1sont colinéaires,|V3 - V2| = |V'1 - V'0|.

12

Propriétés des courbes de Bézier13) Représentation d’une courbe de Bézier de degré N à partir de 2 courbes de

Bézier de degré N - 1

Soit la notation suivante:

Pjk(u) = polynôme de Bézier où Pj, Pj+1, ..., Pk sont les points de contrôle

= i=0,1,2, ..., k-j fi,N(u) Pi où Pi = Pi+j

nous avons le résultat récursif suivant :

P0,N(u) = (1 - u) P0,N-1(u) + u P1,N(u) où P0,0 P0, ..., PN,N PN.

Le calcul d’un point de la courbe de Bézier de degré N nous amène à construirel’arbre récursif suivant :

13

Propriétés des courbes de Bézier

P 0,0

P 1,1

P 2,2

P N-1,N-1

P N,N

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

P 0,1

P 1,2

P N-1,N

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

P 0,N-2

P 1,N-1

P 2,N

P 0,N-1

P 1,N

P 0,N

Les sommets P0,i , i = 0, 1, …, N représentent les points de contrôle du tronçon decourbe entre u = 0 et u = u tandis que les sommets PN-i,N , i = 0, 1, …, N représentent

les points de contrôle du tronçon de courbe entre u = u et u = 1.

14

Construction de de Casteljau

1- t

1- t

1- t

1- t1- tt

t

t

t

tt

1 - t

15

Propriétés des courbes de Bézier14) Subdivision d'une courbe de Bézier en 2 courbes de Bézier.

Pour déterminer les points de contrôle d’un morceau d’une courbe de Bézier dedegré N, l’approche la plus simple est d’utiliser le résultat énoncé à la propriété 13des courbes de Bézier et la procédure qui en découle.

T 0

V 1

V 0

S 0

V 2

V 3

=

Subdivision d'une courbe de Bézier

S 1

S 2

S 3

=

= T 3

T 2

T 1

Les 2 nouveaux polygones de contrôle sont plus près de la courbe que le polygonede contrôle initial.

16

Génération d’une courbe de Bézier

Il existe plusieurs méthodes pour visualiser une courbe de Bézier.

i=0,1,2, ..., N fi,N(u) Pi , u = 0, u, 2u, ..., 1.

La précision dépend de la valeur de u.

Cela peut exiger le calcul (coût important) d'un grand nombre de points.

APPROCHE A

Il s'agit d'approximer cette courbe par une suite d'arêtes consécutivesdont les sommets sont :

17

Génération d’une courbe de Bézier

On peut remarquer que cette approche n'est pas une méthode approximative car,les 2 nouvelles courbes de Bézier de degré d sont une représentation exacte de lacourbe originale.

Toutefois, la méthode approximative A est souvent utilisée lorsque le critère deprécision est satisfait pour un segment de courbe.

Plusieurs critères de précision peuvent être envisagés; ils cherchent souvent à évaluerla proximité du segment de courbe de Bézier avec le polygone de contrôle associé.

APPROCHE B

- Subdiviser une courbe de Bézier de degré d en 2 courbes de Bézier de degré d.

- Répéter le processus sur chaque segment de courbe jusqu'à ce qu'un critère de précision soit satisfait.

18

Génération d’une courbe de Bézier

Soit la notation suivante:

Pjk(u) = polynôme de Bézier où Pj, Pj+1, ..., Pk sont les points de contrôle

= i=0,1,2, ..., k-j fi,N(u) Pi où P i = Pj + i

Théorème 1.

P0,N(u) = (1 - u) P0,N-1(u) + u P1,N(u) où P0,0 P0, ..., PN,N PN.

APPROCHE C

19

Génération d’une courbe de BézierAlgorithme C

FOR u := 0 TO 1 BY u DOFOR I := 0 TO N DO Ri := Pi;M := N;WHILE M > 0 DO

FOR I := 0 TO (M-1) DO Qi := Ri + u (Ri+1 - Ri);M := M - 1;FOR I := 0 TO M DO Ri := Qi;

Afficher le point P0,N(u) de la courbe, i.e. R0.

La complexité de l'algorithme est O(N2 / u).

20

Génération d’une courbe de BézierAPPROCHE D

P(u) i=0,1,2, ..., N C i,N ui (1-u)N-i Pi

(1 - u)N i=0,1,2, ..., N C i,N [u / 1-u]i Pi

(1 - u)N {P0 + u/(1-u)[ i=1,2, ..., N C i,N [u / 1-u]i-1 Pi]}

(1 - u)N {P0 + u/(1-u)[C 1,N P1 + u/(1-u) i=2, 3, ..., N C i,N [u / 1-u]i-2 Pi]}

. . .

supposons connus (1 - u)N, u / (1 - u), pour tout i,

P(u) (1 - u)N {P0 + u/(1-u){C 1,N P1 + u/(1-u){C 2,N P2 +...

C N-3,N PN-3 + u/(1-u){C N-2,N PN-2 + u/(1-u){C N-1,N PN-1 + u/(1-u)PN}}....}.

21

Génération d’une courbe de BézierAlgorithme D : Calcul de P(u).

FOR u := 0 TO 0.5 BY u DOQ0 := PN;FOR I := 1 TO N DO

Qi := [u/(1-u)] Qi-1 + N PN-i; N - i

P(u) := (1 - u)N QN.

22

Cas particulier d’une courbe de Bézier de degré 3

P(u) = (1 – u)3 P0 + 3u (1 – u)2 P1 + 3u2 (1 – u) P2 + u3 P3.

P 0

P 1

P 2

P 3

Courbe de Bézier de degré 3

P'(u) à u = 0 = 3 (P1- P0)

P'(u) à u = 1 = 3 (P3 – P2)

d P(u)  = 3 {C1,3(u) - C0,2(u)}, u [0,1].

du

= -3(1 – u)2 P0 + (9u2 – 12u + 3)P1 + (6u – 9u2) P2 + 3u2 P3.

23

Courbe de Bézier de degré 3 agissant comme courbe d’interpolation pour les sommets V0,

V1, V2 et V3

Il s’agit de déterminer les points de contrôle P0, P1, P2 et P3.

P0 = V0

P3 = V3

V1 = P(1/3) = 8 V0 + 4 P1 + 2 P2 + 1 V3

27 9 9 27

V2 = P(2/3) = 1 V0 + 2 P1 + 4 P2 + 8 V3

27 9 9 27

P1 = -5 V0 + 3 V1 - 3 V2 + 1 V3

6 2 3

P2 = 1 V0 - 3 V1 + 3 V2 - 5 V3

3 2 6