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operation.maths.free.fr

Université de Bordeaux.

Equipe Opération maths

« Apprendre des mathématiques en faisant des mathématiques »

« modéliser, représenter »

Cesson Sévigné 14 février 2018

Plan

• Première partie : – Préambule – Qu’est ce que « faire des mathématiques »? – Les débats actuels

• Deuxième partie : Enseigner par la résolution de problèmes… – Problème, tâche complexe, situation – Difficultés du côté des enseignant-es

• Troisième partie : Les points de vigilance – Numération – Droite numérique – Algorithmes évolutifs – Décimaux

• Conclusions

Préambule

Aborder un savoir nouveau

L’introduction de la somme de deux décimaux

Antécédents :

Les écritures à virgule ont été introduites à partir des fractions décimales

5 scénarios…

6

• Scénario 1 : Le professeur commente chiffre par chiffre, au tableau, la technique pour calculer 1,45 + 2,7.

Les élèves répètent le procédé vu dans les nombres entiers et apprennent à mettre la virgule à l’endroit

adapté.

• Scénario 2 : Le professeur explique la technique en s’appuyant sur les savoirs des fractions. Il fait ensuit le

lien entre savoirs faire anciens et nouveaux (addition en colonne).

• Scénario 3 : Lecture d’un énoncé écrit au tableau : « Pour construire une grande frise chronologique, des

enfants mettent bout à bout deux bandes de carton. La première mesure 1,45 m et la seconde mesure 2,7

m. Quelle est la longueur de la bande ainsi obtenue ? ». Travail individuel ou par groupes. Ecriture des

démarches sur une grande feuille qui sera affichée éventuellement au tableau. Synthèse collective.

• Scénario 4: Dans la classe, deux baguettes de longueurs connues et vérifiées: 1,45m et 2,7m. Consigne :

« Prévoyez par le calcul la longueur de la baguette obtenue lorsque l’on mettra ces deux bout à bout ». Les

élèves font des calculs. Ils annoncent leurs prévisions. Vérification collective.

• Scénario 5 : Par groupe : deux baguettes de longueurs connues et vérifiées : 1,45m et 2,7m. Consigne :

« Je vous demande de trouver la longueur de la baguette obtenue en mettant ces deux baguettes bout à

bout ». Les élèves disposent de mètres. Ils mesurent et trouvent la longueur totale. Synthèse collective.

Ce qui caractérise ces scenarii scenario

1

scenario 2 scenario 3 scenario 4 scenario 5

Problème

posé

non non Oui ( à partir

d’un énoncé)

Oui (à partir d’un

matériel)

Oui (à partir d’un

matériel)

Action de

l’élève

imiter imiter Prévoir un

résultat puis

repérer les

erreurs par

validation

syntaxique

Prévoir un résultat

puis repérer les

erreurs par

validation

pragmatique ou/et

syntaxique

Mesurer. Aucune

anticipation.

Transfert de

responsabilit

é

non non (ou

maïeutique)

Oui Oui (prévoir puis

mesurer)

oui (mesurer)

Nature de la

tâche

Technique

: l’addition

en colonne

Technique :

addition des

fractions puis

addition en

colonne

Technologie :

validation

mathématiqu

e

Technique :

addition des

fractions puis

addition en

colonne

Technologie :

validation

mathématique

Technique :

addition des

fractions puis

addition en

colonne

Technologie :

validation

mathématique

Technologie :

Mesurage de

bandes mises

bout à bout.

Petite remarque : Longueurs des bandes : 1,45 m et 2,7 m. Réponses envisageables dans les scénarii 3, 4 et 5 ? 3,52 (1 + 2 = 3 et 45 + 7 = 52) 3,115 (2 + 1 = 3 et 45 + 70 = 115)

1,72 (145 + 27 = 172 puis 1,72) 4,15 Que serait-il arrivé si on avait choisi pour les longueurs des

bandes 1,4m et 2,5m ??? Ces choix influent significativement sur le déroulement de la

séance. (variables didactiques).

• Le fait que le milieu d’apprentissage devienne dans la situation 4

celui des signes fait que l’activité va se déplacer d’un milieu

matériel à un milieu fait de symboles.

• La réponse à « quelle est la longueur de la bande » ne se construit

pas dans le milieu matériel (à la différence de S5) , mais se génère

dans un milieu formel de signes qu’il faut « apprivoiser » pour

modéliser. (ici l’addition de deux nombres décimaux).

• Le milieu matériel sert à comprendre le problème et à vérifier les

hypothèses faites. Il ne doit pas servir à résoudre le problème !

• Les connaissances ainsi construites (devenant formulables en

savoirs) s’inscrivent dans un projet de re-présentation et de

modélisation.

En 6°….des surprises

Alors, qu’est-ce que faire des mathématiques ?

11

• Mathématiser c’est construire un modèle (produit par un langage :

i.e. « moyen d’objectiver et de développer la pensée. » ) en vue

d’exercer un contrôle sur un milieu (souvent matériel en début de

scolarité).

• La manipulation : sa place, son rôle

• Prévoir puis vérifier.

• Ceci dès la petite section de l’école maternelle…

• Notre métier consiste à rendre compatible cette activité intellectuelle

formatrice et l’acquisition des savoirs des programmes de l’école.

Débats actuels

• Les voix actuellement entendues dans les médias sont celles des tenants du bien

être de l’enfant, des neurosciences, des fondamentalistes.

• Comme d’autres didactiques disciplinaires la didactique des mathématiques est

quasi inaudible.

• La didactique des mathématiques étudie les processus de transmission et d'acquisition des savoirs mathématiques en milieu scolaire.

• Elle se propose de décrire et d'expliquer les phénomènes relatifs aux rapports entre son enseignement et son apprentissage.

• A terme, elle se propose d'améliorer les méthodes et les contenus de l'enseignement,... assurant chez l'élève la construction d'un savoir vivant (susceptible d'évolution) et fonctionnel (qui permette de résoudre des problèmes et de poser de vraies questions).

Les évaluations internationales

• Les évaluations internationales sont des indicateurs à prendre naturellement en

compte mais la sur-médiatisation des palmarès a des effets pervers,

• Elle conduit notamment de nombreux enseignants à accentuer l’évaluation des

savoirs (en fin d’apprentissage) en venant à négliger les temps d’apprentissage et

l’évaluation de l’évolution des connaissances en cours d’apprentissage.

Deuxième partie Enseigner par la résolution de

problèmes

L’image des mathématiques

Un problème de proportionnalité en CM1

17

Pour réaliser l’agrandissement demandé, les élèves proposent pratiquement tous d’ajouter 2cm à toutes les dimensions de leur pièce.

Le professeur n’a pas besoin d’intervenir pour évaluer leur travail : ils sont très étonnés de ne pas pouvoir reconstituer le puzzle, ce qui les conduit à s’interroger sur les raisons de ce constat et à rejeter la solution qui leur paraissait la plus simple et à en chercher une autre.

La connaissance nouvelle, formulée dans la dernière partie de la séquence, est le résultat de l’adaptation des élèves à la situation.

C’est une situation a-didactique de la proportionnalité maintenant citée comme exemple de « tâche complexe »

(http://maths.discip.ac-caen.fr/spip.php?article196)

Un autre problème de proportionnalité…

– Ces deux situations induisent un rapport au savoir et une activité mathématique différentes. Dans les deux cas, on parle pourtant d’enseignement par résolution de problèmes,

– La seconde situation possède des caractéristiques que ne possède pas la première

– La seconde situation suppose une formation professionnelle du professeur

– La mise en œuvre et le suivi de ces deux situations ne sont pas identiques.

Enseigner par la résolution de problèmes…

« Tâche complexe » en mathématiques

– Le mot « problème » a une signification variable d’un enseignant à un autre. (énoncé textuel, défi, situation de la vie, etc.)

– Sur des sites internet la seconde situation est citée comme exemple de « tâche complexe »,

– Or, une « tâche complexe » est souvent définie comme une tâche à effectuer issue de la vie courante

– L’agrandissement du Puzzle n’a pas été construit en ce sens.

– Vouloir rattacher une activité mathématique de l’école primaire à des situations de la vie courante en vue d’une construction de savoirs est un peu naïf.

– Cette tendance à s’appuyer sur des mots qui donnent l’apparence d’un consensus (problème) ou/et des mots qui donnent l’apparence d’une nouveauté (tâche complexe ) est forte.

Les situations d’apprentissage par adaptation

- Y-a-t-il bien un « défi » posé aux élèves dans lequel l’élève ne reconnaît pas

d ’intentions didactiques.

- Quel est le ou les savoirs visés ?

- L’utilisation de la connaissance visée est-elle nécessaire pour parvenir à la

solution du problème posé aux élèves?

- L’élève peut-il comprendre la consigne et s’engager progressivement vers

une solution sans disposer de cette connaissance entièrement élaborée ?

- Comment voit-il qu’il a réussi ou échoué ; est-il entièrement dépendant de

l’adulte ou la situation comporte-t-elle des rétroactions ?

- La vérification du résultat peut-elle donner des informations sur la façon de

réussir ?

- Peut-il recommencer en modifiant sa procédure ?

-La connaissance visée est-elle nécessaire pour passer de la stratégie de base

à une meilleur stratégie ?

• Le système,

– Les programmes 2008 ont mis en évidence des tensions sources d’obstacles à des réformes pourtant possibles ( charges inutilement lourdes : produit de 2 décimaux en CM2)

• Le professeur :

– Peu d’outils pour mettre en scène des situations d’apprentissage par adaptation au sein d’une progression

– L’idée que ce type d’approche serait réservé à une élite

– L’idée de ne pas ennuyer les élèves donc de faire un peu de tout chaque jour, donc de renoncer à une « ouverture de chantier »

– Difficulté personnelles liées aux mathématiques à enseigner (l’exemple des nombres décimaux)

– Se dégager de la « pédagogie spontanée » qui consiste à préconiser les tâches de manipulation pour les élèves étiquetés en difficulté, à enseigner des procédés.

Pourquoi cette approche reste difficile à faire partager ?

• L’élève,

– Les élèves en échec électif en mathématiques sont peu nombreux

– Difficulté en lecture : grosses conséquences si le professeur réduit l’activité mathématique à la consommation de fichiers.

– 80% des élèves en difficulté sont des élèves qui n’ont pas compris la numération

– Leur détection doit s’effectuer le plus tôt possible sinon risque de perte de l’estime de soi.

Les élèves en difficulté

Le rapport sur l’individualisation (CNESCO) : « plus les élèves sont en difficulté

plus on les plonge dans du déjà fait, du déjà vu, de l’entraînement. »

Difficulté à mettre en scène des situations d’apprentissage (I)

Construire des situations à des moments clés

Une étude au CE2

Premières vérifications

•Le carré à construire (carré objet, angle droit outil, puis objet) : Échec en CE2 lors de la première séance.

•Découvrir les contraintes spatiales (travail sur micro-espace)

•Quelle géométrie ? (de la perception instrumentée à des débuts de raisonnement déductifs).

•Phase de bilan collectif

•En situation scolaire, un processus didactique « constructiviste » ne peut pas aboutir et même ne peut se poursuivre en l’absence d’institutionnalisations et d’entraînement.

Inclure des moments d’institutionnalisation des savoirs acquis

1mn20s

Difficulté à mettre en scène ce type de situations d’apprentissage (II)

Liens avec le manuel

Le rôle attendu d’un manuel

Le travail avec les objets

L’évocation à l’aide d’images et de

textes

Le savoir, l’institutionnalisation :

ici l’angle droit.

Ce que l’on retrouve pour le numérique

L’évocation à l’aide d’images et de textes

L’écriture formelle

Le travail avec les objets

Difficulté à mettre en scène des situations d’apprentissage (III)

Avoir en tête des organisations

Les polygones au CM1 (ou CM2)

Difficultés du professeur dans sa gestion de la classe

Une organisation didactique des figures planes au CM2

Cercle : ensemble de points à une distance donnée d’un point fixe. ( méso : placer 18 palets à 3m d’un piquet ; micro : placer 18 points à 3cm d’un point A) Triangles entièrement caractérisés par la donnée de trois nombres.

Quadrilatères, non caractérisées par la longueurs de ses côtés : d’où la diagonale.

Alignements et angles droits

37

« re-présenter »

Difficultés liées aux mathématiques à enseigner Les décimaux

Des p’tits trous, encore des p’tits trous…

• Avec les décimaux et les fractions on doit couvrir toute la droite numérique ??

• Eh ! non….

• Les Pythagoriciens montrent que la mesure de « ? » n’est pas une fraction… mais en mesurant on obtient bien un nombre…

Difficultés théoriques : deux conceptions des fractions

-« 3 quarts » renvoie au partage d’une grandeur unité (de mesure 1) qui est fractionnée en 4 parts égales (les quarts) et l’on prend 3 de ces quarts. Dans ce cas, on parle de « fractionnement de l’unité ».

-« 3 divisé par 4 » renvoie au partage d’une grandeur de mesure 3 qui est partagée en 4 grandeurs de mesure égale (cela peut être un segment de mesure 3, cela peut être 3 pizzas, etc.). On parle de « commensuration »

3u

4

1u3xu

4

3

4

3

4

3 uu

u

C’est cette seconde conception qui donne du sens à la « fraction quotient ». « Pour faire 3 il en faut 4 » ; « 4x=3 »

L’ordre dans les nombres décimaux

Essayons de ranger les « mots » suivants comme s’ils étaient dans un dictionnaire (les lettres étant 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) :

1002 10134 102 10056 13

- L’ordre des décimaux est le même que celui du dictionnaire. Ce n’est pas celui des entiers naturels.

Des représentations classiques

Mais un schéma qui donne une conception fausse de l’organisation des

nombres. D’où la nécessité de travailler la droite numérique. Source Wikipedia.

Joël Briand

• Trois petits problèmes

Avec 13 billes, 4 lots, combien de billes par lot? Nombre entier

Avec une bande de 13 cm, 4 morceaux de même longueur, quelle longueur pour chaque morceau?

Nombre décimal non entier

Avec une bande de 13 cm, 3 morceaux de même longueur, quelle longueur pour chaque morceau?

Nombre rationnel non décimal

Il y a donc toutes sortes de nombres !

Troisième partie Les points de vigilance

Co-construction écriture des nombres et opérations.

Dépendance entre nombres, grandeurs et mesurage.

Lier nombre, droite numérique et mesure des grandeurs.

Où les nombres entiers ne suffisent plus.

Pratiques sociales : premières lectures

des nombres.

Se donner les moyens de construire numération et + puis - , x et : de façon dialectique : s’appuyer sur des algorithmes évolutifs.

Plan pour le tour d’horizon

Dépendance entre nombres, grandeurs et mesurage.

Où les nombres entiers ne suffisent plus

Pratiques sociales : premières lectures

des nombres

puis - , x et : de façon dialectique : s’appuyer sur des algorithmes évolutifs.

Se donner les moyens de construire numération et +

Co-construction écriture des nombres et opérations.

Lier nombre, droite numérique et mesure des grandeurs.

L’écrit se complexifie : la numération, l’addition

Accès à la numération Les «principes organisateurs» déterminants

Il est classique de voir un élève lire l’étiquette « 18 » en énonçant « dix-huit » et considérer simultanément que 18 c’est 1 + 8 (donc c’est 9 !) sans voir l’incompatibilité entre ces deux lectures. On constate donc que ce signe « 18 » a une signification pour l’élève qui n’est pas « stable » Pour que l’élève s’approprie la signification souhaitée de ce « signe », un discours magistral n’est pas suffisant. Objectif construire des situations qui permettent cette appropriation et accompagne ce changement d’interprétation des signes également connus « 1 » et « 8 ».

Extraits de cette situation d’évaluation

• Il est nécessaire d’avoir compris le système d’écriture chiffrée pour passer au calcul.

par exemple erreurs relevées en CE2

Pour ces deux calculs

2000+300+40+7

2000+40+7

le taux de réussite n’est pas le même

En réponse à la question : pose et calcule 3 0 8 + 6 3

un nombre non négligeable d’élèves font des erreurs de position

3 0 8 + 6 3 ---------

.

50

Sept mille huit cent quatre-vingts

7 1000 8 100 4 20

(7 1000) + (8 100) + (4 20)

C’est la décomposition « auditive »

51

• Ces systèmes sont comme des « langues », • le fait de passer de l’un à l’autre relève de la

traduction et non de la lecture/dictée.

Un point aveugle : piste, file, droite

Dépendance entre nombres, grandeurs et mesurage.

Lier nombre et droite numérique

Où les nombres entiers ne suffisent plus

Pratiques sociales : premières lectures

des nombres

Se donner les moyens de construire numération et + puis - , x et : de façon dialectique : s’appuyer sur des algorithmes évolutifs

Co-construction écriture des nombres et opérations.

Une image mentale des nombres : file, piste, droite numérique

Nécessité de construire une image mentale de la droite numérique

.

• Travailler le lien entre distance (notion géométrique : nombre de graduations ) et écart ( notion

numérique : l’écart 37-15)

• Permet de donner du sens à

– « 36 est entre 30 et 40 »

– « 39 est proche de 40 »

– « 35 est entre 30 et 40. Il est juste au milieu »

– « 35 est à égale distance de 30 et 40 »

– Etc.

Piste, file, droite numérique, double décimètre : du discret au mesurable

7u

56

Droite graduée et fractions

57

Droite graduée et densité des décimaux

Une construction progressive des algorithmes

Dépendance entre nombres, grandeurs et mesurage.

Lier nombre et droite numérique

Où les nombres entiers ne suffisent plus

Pratiques sociales : premières lectures

des nombres

Se donner les moyens de construire numération et + puis - , x et : de façon dialectique : Algorithmes évolutifs

Co-construction écriture des nombres et opérations.

« Le sens et l’automatisation se construisent simultanément » (Programmes 2016.)

Calculons

125 - 97

Droite graduée et soustraction

• La technique par « démolition » • exemple 125-97

• Avantage : cette technique repose sur la compréhension de notre

système d'écriture des nombres largement travaillé au cycle 2. • Inconvénients : • -Elle correspond à une manipulation à partir du matériel de

numération… • -Elle est très difficilement utilisable dans les cas où il y a un zéro

intermédiaire sauf à automatiser de façon très coûteuse. • -Cette technique devra donc être abandonnée en cycle 3 ou au

collège.

97 125 100 128

97 125 135 107

La technique « par compensation ou translation » : exemple 125-97

- Méthode « à la russe » : on cherche un nombre rond

- Méthode usuelle : on ne peut pas calculer 5-7 : on ajoute 1 dizaine à 125 et pour conserver l'écart on ajoute 1 dizaine à 97.

avantages : cette technique est utilisable quels que soient les nombres choisis. Elle s’appuie sur des propriétés mathématiques qui seront utiles au cycle 3 et au collège. C'est la technique usuelle de la soustraction en France, elle sera enseignée au cycle 3. Les élèves qui l'auront apprise en CE1 n'auront pas besoin de changer de technique au cycle 3. inconvénient : elle nécessite de prendre le temps de travailler la propriété de conservation des écarts, sur laquelle elle repose.

125 – 97 ?

125 – 97

128 – 100

C’est donc 28.

+3 +3

Les procédés de calcul comme aboutissement d’une construction mathématique.

Méthode à la russe

457 - 128

459 - 130

529 - 200

329

1000- 256

1004- 260

1044- 300

744

1000- 256 : 4+40+700

Pratiques sociales : rendre la monnaie

Faire l’appoint

20 € pour 7 € 23 € pour 10 €

L’algorithme de la soustraction en CE1-CE2 se construit donc à partir d’une bonne connaissance de la droite graduée.

Technique définitive

Notion de champ conceptuel (G.Vergnaud)

– Ensemble des situations qui donnent du sens au concept

– Ensemble des invariants qui permettent de les analyser du point de vue mathématique

– Ensemble des signifiants, représentations symboliques et langage nécessaires au travail de conceptualisation.

Principales relations additives Addition soustraction

Pierre a 5 billes. Il joue une partie et gagne 7 billes.

Combien de billes a-t-il maintenant ?

Robert vient juste de perdre 7 billes. Il a maintenant 5

billes. Combien de billes avait-il avant de jouer ?

Thierry a joué deux parties de billes. A la seconde

partie il a perdu 7 billes. A la fin des deux parties il a

gagné 5 billes. Que s’est-il passé à la première partie

?

(75% d’échecs en 6° pour le problème

« Thierry »)

Droite graduée et multiplication

Droite graduée et division

« Quand on encadre 43 par deux multiples consécutifs de 6 et que l’on

écrit 43 = (6 x 7) + 1, on dit que l’on fait la division de 43 par 6. Dans

cette division, le nombre 7 s’appelle le quotient. C’est le nombre de

fois où 6 est contenu dans 43. 1 s’appelle le reste. »

200 + 50 + 60 + 15

325

20 5

10

3

200

60

50

15

25

13 10x10

= 100

10x10

= 100 5x10 =

50

5x3 =

15

10x3 =

30

10x3 =

30

25x13

Au seuil de réussite acceptable de 70%, pour la taille 8, la méthode classique permet 12 réussites sur 25 élèves soit 48%. L’autre méthode permet la réussite de 22 élèves soit 88%. Le gain est de 40%. Il augmente avec la taille des multiplications.

L’amélioration est plus forte chez les élèves moyens.

Recherche Université Bordeaux I (1973) réalisée auprès de 150 enfants de CM.

En CE1-2

25x13

En CE CM.

Conclusion : s’appuyer sur des algorithmes évolutifs en cycles 2 et 3.

72

Programmes 2016 : « L’étude de la division, travaillée au cycle 3, est initiée au cours du cycle 2 dans des situations simples de partage ou de groupement. » « obtenir le quotient et le reste d’une division euclidienne par un nombre à 1 chiffre et par des nombres comme 10, 25, 50, 100 en fin de cycle. » -Au CP : partages équitables simples. Double moitié.

- Résoudre des problèmes en s’appuyant sur la droite numérique :

« Quand on encadre 43 par deux multiples consécutifs de 6 et que l’on écrit 43 = (6 x 7) + 1, on dit que l’on fait la division de 43 par 6. Dans cette division, le nombre 7 s’appelle le quotient. C’est le nombre de fois où 6 est contenu dans 43. 1 s’appelle le reste. «

La division

Situation préparatoire de découverte : le chantier de la division.

•« Un éleveur de volailles veut expédier des œufs par boîtes de 24. Il a 439 œufs. Combien de boîtes doit-il prévoir? »

•Vérification expérimentale des prévisions obtenues dans un milieu d’action.

•plus tard, exemple : 7053 divisé par 34 :

•Ces situations sont organisées par le professeur sur une période longue.

Co-construction écriture des nombres et opérations.

Dépendance entre nombres, grandeurs et mesurage.

Lier nombre, droite numérique et mesure des grandeurs.

Où les nombres entiers ne suffisent plus.

Pratiques sociales : premières lectures

des nombres.

Se donner les moyens de construire numération et + puis - , x et : de façon dialectique : s’appuyer sur des algorithmes évolutifs.

Les nombres décimaux

Les nombres décimaux

Partie non abordée lors de l’exposé.

Nos choix

• Les fractions et les décimaux doivent apparaître comme de nouveaux nombres, utiles pour résoudre des problèmes que les entiers ne permettaient pas de résoudre :

- Problèmes de partage

- Problèmes de mesures de longueur et d’aire

-Problèmes de repérage d’un point sur une droite.

-On ne demande pas une grande expertise des fractions en général : elles sont un point de passage. Le fractionnement de l’unité suffit.

Premier bloc d’étapes (en période 4 du CM1)

1 : les fractions au quotidien

Evocation de situations quotidiennes dans lesquelles les

fractions sont utilisées, plutôt que s’appuyer sur des pratiques

telles que 3,25 pour 3 euros 25 centimes. (Obstacle).

Partage de bandes par pliage.

But : permettre de palier l'insuffisance des nombres entiers pour mesurer une longueur. Situation : tracer un segment de même longueur qu’un segment donné à partir d’un message. Emetteur et récepteur ont le segment unité. Cette situation permet la production de messages du type : « Le segment mesure une unité plus la moitié de l’unité » ou bien « c’est u + 1/2 de u ».

u l

2 : Situation de communication

3 : « machine à partager » basée sur un savoir faire ancien…

5 segments de même mesure

En 10

En 5

En 9

En 4

En 8

Environnement de fractions plus riche, avec, notamment les fractions décimales

Repérer précisément un point sur un segment unité

A

B

M

4 : positionner une fraction sur la droite graduée

Les fractions permettent aussi d’exprimer la mesure de l’aire de figures planes dès lors que l’on a choisi une aire unité.

5 : utiliser les fractions pour résoudre des problèmes d’aires

Placer des fractions à l’aide de la graduation la mieux adaptée puis écrire la fraction sous la forme d’un entier et d’un « rompu »

6 : les fractions décimales : leur avantage

Lesquelles sont faciles à localiser à l’aide de leur écriture ?

7 : les fractions décimales : différentes écritures

Enrichir la graduation : les centièmes

S’approprier différentes écritures

8 : les fractions décimales : les additionner

Validation pragmatique

Validation syntaxique

Second bloc d’étapes (en période 5 du CM1)

Le second bloc d'étape consiste en le passage conventionnel à l'écriture à virgule.

9 : les nombres décimaux : écritures à virgule (Stevin)

Convention d’écriture.

Bien utile pour l’addition

La situation

La reprise sur le manuel

Deux méthodes de calcul

10 : Les additionner

11 : les comparer

La situation : le travail sur la droite numérique révèle des difficultés et

connaissances erronées

Jeu de l’explorateur : ici le nombre caché est 0,111.

0,1 et 0,2 sont déjà placés. Les élèves savent que le nombre caché est

entre 0,1 et 0,2.

La question est « est-il entre 0,15 et 0,20 ? ». La réponse est « non ».

Un enfant vient placer ces nombres au tableau.

12 : Les soustraire

L’évocation de la situation sur la manuel

La consolidation de la soustraction à la russe (voir plus tard si le temps le permet)

Le rappel du traitement de la soustraction par conservation des écarts

13 : Les convoquer dans des problèmes

En CM2 :

le cas du produit d’un décimal par un entier, tout va bien!

Produit de deux nombres décimaux : en classe de 6°

97

La division décimale avec quotient décimal : en 6°

98

Conclusion (1)

•Dès la maternelle, la construction des premiers nombres s’effectue dans des situations dites par adaptation. Le rôle du matériel, de la trace écrite sont déterminants.

•Ce que l’on nomme actuellement « tâche complexe » en intra disciplinaire devrait s’adosser sur les recherches bien établies en didactique des mathématiques (théorie des situations), mais l’institution aime bien les mots nouveaux…

•Ces situations ne sont pas réservées aux « bons élèves » : elles sont bien souvent mises en place en ASH

•La construction de la numération et des opérations est un lent travail d’entrée dans l’écrit. Elle se fonde sur des situations à vivre en classe dans des moments clés de l’apprentissage (ne pas confondre temps de l’évaluation et temps des apprentissages)

•Un exposé ou le suivi d’un manuel sans jamais de mises en scène en classe est un obstacle à l’activité mathématique. -

Conclusion 2 (rôle du professeur)

Savoir différencier S.A. par adaptation, S.A. par familiarisation-imprégnation, situations de consolidation entraînement, situations d’évaluation ,

Maîtriser les rôles respectifs des supports proposés (matériel, manuel, TBI),

Travailler la consigne Installer les élèves dans la durée des apprentissages (chantiers, micro-séquences pour le groupe). Réfléchir à l’individualisation des parcours

Même tâche et : Jouer sur les variables de commandes de la situation Jouer sur les procédés de calculs (algorithmes évolutifs)

Etre attentif aux difficultés non spécifiques aux mathématiques : (lecture, représentations spatiales, cultures différentes). Etre bien conscient des enjeux (cognitifs, sociaux, éthiques).

Les programmes 2016 nous y incitent.

Merci de m’avoir écouté et…

Bon courage pour la suite.